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初中数学中的基本事实

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初中数学的几何(当然是欧几里得几何),为了解题方便实际上是不会(能)证明,从而在教科书中规定了比欧几里得在《几何原本》中规定的5条公设(Αἰτήματα ε΄.)更多的所谓“基本事实”

因此,本文将列出这些基本事实,并对5条公设以外的基本事实逐个去批判证明。

《几何原本》中的公设与公理

《几何原本》中有“公设”与“公理”之分,而近代数学对此不再区分,都称“公理”。

公设

这5条公设是:

  1. 从一点向另一点可以引一条直线。
  2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
  3. 给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。
  4. 所有直角都相等。
  5. 若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。

在徐光启、利玛窦所译的版本中,公设被称作“求作”。[注 1]求作者,不可言不得作。

一、自此㸃至彼㸃求作一直線。
二、一有界直線,求從彼界直行引長之。
三、不論大小,以㸃為心求作一圜。
四、直角俱相等。
五、有二横直線,或正、或偏,任加一縱線,若三線之間同方,兩角小於兩直角,則此二横直線愈長、愈相近,必至相遇。

[取自《几何原本》卷一[1]]

欧几里得的古希腊语原文为目害警告

α΄. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν.
γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.

[取自Στοιχεῖα α΄[2]]

美国克拉克大学的的在线英文版:[3]

  1. To draw a straight line from any point to any point.
  2. To produce a finite straight line continuously in a straight line.
  3. To describe a circle with any center and radius.
  4. That all right angles equal one another.
  5. That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.

啊。“7976?”我在问你,信是从哪里写的。
b。有限的人把它看作一条直线。
C。以及你写的每个中心和空间圈。
D级你的每个角落都是一样的。
嘿。如果我看到两个直箭射入,两个尖头套索的两个尖头角部分重合,第7939部分是两条鲑鱼。

公理

这5条公理是:

  1. 与同一事物相等的事物相等。
  2. 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
  3. 相等的事物减去相等的事物仍然相等。
  4. 一个事物与另一事物重合,则它们相等。
  5. 整体大于局部。

在徐光启、利玛窦所译的版本中,公理被称作“公論”。[注 1]公論者,不可疑。

一、設有多度,彼此俱與他等,則彼與此自相等。
二、有多度等,若所加之度等,則合并之度亦等。
三、有多度等,若所減之度等,則所存之度亦等。
四、有二度自相合,則二度必等。
五、全,大於其分。

[取自《几何原本》卷一[1]]

欧几里得的古希腊语原文为我也不知道为什么有9条

α΄. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
β΄. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
γ΄. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
δ΄. [Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.
ε΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
ϛ΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.]
ζ΄. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ' ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
η΄. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].
θ΄. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.

[取自Στοιχεῖα α΄[2]]

美国克拉克大学的的在线英文版:[3]

  1. Things which equal the same thing also equal one another.
  2. If equals are added to equals, then the wholes are equal.
  3. If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal.
  4. Things which coincide with one another equal one another.
  5. The whole is greater than the part.

啊。我做到了,我做到了。
b。如果你加上这个,就是这样。
C。甚至可能是一个章节,那是给你的。
D。你又加了一句,我又加了一句。
嘿。是你的两倍。
对。你就是这样做的。
g。药剂师是另一种人。
或以及居民的一部分。
D级两个是不满足的。

初中教科书中的基本事实

苏科版

  1. 两点确定一条直线.(七年级上册 6.1)
  2. 两点之间线段最短.(七年级上册 6.1)
  3. 过一点外只有一条直线与这条直线平行.(七年级上册 6.4)
  4. 过一点外只有一条直线与这条直线垂直.(七年级上册 6.5)
  5. 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,两直线平行.
    简单说成:同位角相等,两直线平行.(七年级下册 7.1)
  6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写为“边角边”或“SAS”).(八年级上册 1.3)
  7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写为“角边角”或“ASA”).(八年级上册 1.3)
  8. 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写为“边边边”或“SSS”).(八年级上册 1.3)
  9. 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.(九年级下册 6.4)实际上可以证明

注释

  1. 1.0 1.1 该版本中的内容顺序与其他版本不同。

参考

  1. 1.0 1.1 “幾何原本/卷一” — 维基文库
  2. 2.0 2.1 “Στοιχεία/α” — Βικιθήκη
  3. 3.0 3.1 “Euclid's Elements, Book I” ,来自David E. Joyce, Clark University。 Euclid's Elements,1996年。