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宜将剩勇追穷寇,不可沽名学霸王。
天若有情天亦老,人间正道是沧桑。

初中数学中的基本事实

来自奇葩栖息地
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初中数学的几何(当然是欧几里得几何),为了解题方便实际上是不会证明,从而在教科书中规定了比欧几里得在《几何原本》中规定的5条公设(古希腊语:Αἰτήματα,英语:Postulate)更多的所谓“基本事实”

因此,本文将列出这些基本事实,并对5条公设以外的基本事实逐个去批判证明。

《几何原本》中的公设与公理

《几何原本》中有“公设”与“公理”之分,而近代数学对此不再区分,都称“公理”。

公设

这5条公设是:

  1. 过两点能作且只能作一直线。
  2. 直线可以向两端无限延伸。
  3. 以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。
  4. 凡直角都相等。
  5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

在徐光启、利玛窦所译的版本中,公设被称作“求作”。[注 1]求作者,不可言不得作。

一、自此㸃至彼㸃求作一直線。
二、一有界直線,求從彼界直行引長之。
三、不論大小,以㸃為心求作一圜。
四、直角俱相等。
五、有二横直線,或正、或偏,任加一縱線,若三線之間同方,兩角小於兩直角,則此二横直線愈長、愈相近,必至相遇。

[取自《几何原本》卷一[1]]

欧几里得的古希腊语原文为目害警告

α΄. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν.
γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.


[取自Στοιχεῖα α΄[2]]

美国克拉克大学的的在线英文版:[3]

  1. To draw a straight line from any point to any point.
  2. To produce a finite straight line continuously in a straight line.
  3. To describe a circle with any center and radius.
  4. That all right angles equal one another.
  5. That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.

啊。“7976?”我在问你,信是从哪里写的。
b。有限的人把它看作一条直线。
C。以及你写的每个中心和空间圈。
D级你的每个角落都是一样的。
嘿。如果我看到两个直箭射入,两个尖头套索的两个尖头角部分重合,第7939部分是两条鲑鱼。

公理

这5条公理是:

  1. 等于同量的量彼此相等。
  2. 等量加等量,其和相等。
  3. 等量减等量,其差相等。
  4. 彼此能完全重合的物体是全等的。
  5. 整体大于部分。

在徐光启、利玛窦所译的版本中,公理被称作“公論”。[注 1]公論者,不可疑。

一、設有多度,彼此俱與他等,則彼與此自相等。
二、有多度等,若所加之度等,則合并之度亦等。
三、有多度等,若所減之度等,則所存之度亦等。
四、有二度自相合,則二度必等。
五、全,大於其分。

[取自《几何原本》卷一[1]]

欧几里得的古希腊语原文为我也不知道为什么有9条

α΄. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
β΄. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
γ΄. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
δ΄. [Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.
ε΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
ϛ΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.]
ζ΄. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ' ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
η΄. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].
θ΄. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.


[取自Στοιχεῖα α΄[2]]

美国克拉克大学的的在线英文版:[3]

  1. Things which equal the same thing also equal one another.
  2. If equals are added to equals, then the wholes are equal.
  3. If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal.
  4. Things which coincide with one another equal one another.
  5. The whole is greater than the part.

啊。我做到了,我做到了。
b。如果你加上这个,就是这样。
C。甚至可能是一个章节,那是给你的。
D。你又加了一句,我又加了一句。
嘿。是你的两倍。
对。你就是这样做的。
g。药剂师是另一种人。
或以及居民的一部分。
D级两个是不满足的。

初中教科书中的基本事实

苏科版

  1. 两点确定一条直线.(七年级上册 6.1)
  2. 两点之间线段最短.(七年级上册 6.1)
  3. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.(七年级上册 6.4)
  4. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(七年级上册 6.5)
  5. 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,两直线平行.
    简单说成:同位角相等,两直线平行.(七年级下册 7.1)
  6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写为“边角边”或“SAS”).(八年级上册 1.3)
  7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写为“角边角”或“ASA”).(八年级上册 1.3)
  8. 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写为“边边边”或“SSS”).(八年级上册 1.3)
  9. 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.(九年级下册 6.4)实际上可以证明

批判

苏科版

两点确定一条直线.

这是欧几里得他老人家的原话,所以我们可以放一放,没什么大问题。

两点之间线段最短.

这个“基本事实”可能乍一看没什么问题,但实际上你会发现欧几里得并没有提到这一事实。但更可能的是他不会证。

这个命题可以使用变分法来证明。然而证明过程并不能轻易看懂所以就不放在这里了。

有了两点之间线段最短,我们进而可以证出“垂线段最短”和三角形三边关系定理。

过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

《几何原本》的数学优雅在于其简洁和清晰的品性,但是第五公设却定义含混,文字叙述冗长,而且也不那么显而易见。另外,在《几何原本》中直到第29个命题中才用到这条公设,以后也没有再使用过。这使得很多人认为这不应该是个公设。

其实矛盾焦点集中于,在提出第五公设时,平面还未被定义。如果平面作定义为“满足第五公设的面定义为平面”,第五公设就是自明的。

此后,一代代数学家尝试用前四条公设证明平行公设,但都未获成功,反而却创造了违反平行公设的非欧几何(如双曲几何黎曼几何)。最后由意大利数学家埃乌杰尼欧·贝尔特拉米(Eugenio Beltrami)证明了平行公设独立于前四条公设。

如今,第5条公设大部分被普莱费尔公理(Playfair's axiom)所代替,并被各教科书所采用。这条“基本事实”也不例外。

分别在同一个平面上的一条直线和一个点,任意画直线穿过该点,最多只能画出一条直线与原来已有的直线平行。
In a plane, given a line and a point not on it, at most one line parallel to the given line can be drawn through the point.

——约翰·普莱费尔(John Playfair)[4]

普莱费尔公理的优点在于,不需要第三条直线来证明平面上的两条直线是否是平行的,而是利用了反推的原则,来表述两条直线如果没有相交,既是平行。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

当然,这个命题的前提是曲率为零的平面,如果是球面那可能不止一条,比如所有经线都过两极点,但都与赤道垂直。

由于这个命题是由“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”和“过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”合并而成的,所以我们也得逐个击破。

对于前者,假设过直线外一点有两条或以上直线与已知直线垂直。那么该点与两个垂足形成三角形。由于是平面,三角形内角和为 [math]\displaystyle{ 180° }[/math](这里只能用平行公设),而两直角相加已经有 [math]\displaystyle{ 180° }[/math],所以两条“垂线”间的夹角为零。根据角度的定义,这两条直线重合,因此有且仅有一条直线与已知直线垂直。

至于后者,我们用平角的定义仍然发现两条“垂线”间的夹角为零,因此这两条直线重合。

两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,两直线平行.
简单说成:同位角相等,两直线平行.

首先,这并不是《几何原本》中第一条平行线的命题,第一条命题而应该是:

命题I.27
如果一条直线与另两条直线相交,所形成的内错角相等,那么这两条直线平行。

第二十七題
两直線有他直線交加其上,若内相對两角等,即两直線必平行。

κζ΄. Ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.

Proposition 27.
If a straight line falling on two straight lines makes the alternate angles equal to one another, then the straight lines are parallel to one another.

之后才有了后面的几个命题:

命题I.28

一条直线与两条直线相交,如果所形成的同位角相等,那么这两条直线是平行线;如果同旁内角互补,两条直线也平行。

命题I.29
一条直线与两条平行线相交,所形成的内错角相等,同位角相等,同旁内角互补。

第二十八題

两直線有他直線交加其上若,外角與同方相對之内角等,或同方两内角與两直角等,即两直線必平行。

第二十九題
两平行線有他直線交加其上,則内相對两角必等,外角與同方相對之内角亦等,同方两内角亦與两直角等。

κη΄. Ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.
κθ΄. Ἡ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.

Proposition 28.

If a straight line falling on two straight lines makes the exterior angle equal to the interior and opposite angle on the same side, or the sum of the interior angles on the same side equal to two right angles, then the straight lines are parallel to one another.

Proposition 29.
A straight line falling on parallel straight lines makes the alternate angles equal to one another, the exterior angle equal to the interior and opposite angle, and the sum of the interior angles on the same side equal to two right angles.

其次,这些命题欧几里得都给出了证明,在此不再赘述。值得注意的是,证明第29个命题时使用了平行公设。

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写为“边角边”或“SAS”).

这其实是《几何原本》的第4个命题,不在此赘述证明过程:

命题I.4
如果三角形的两条对应边及夹角相等,那么其第三边亦相等,两个三角形亦全等,其余的两对应角亦相等。

第四題
兩三角形,若相當之兩腰線各等,各兩腰線間之角等,則兩底線必等。而兩形亦等,其餘各兩角當當者俱等。

δ΄. Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖς] δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.

Proposition 4.
If two triangles have two sides equal to two sides respectively, and have the angles contained by the equal straight lines equal, then they also have the base equal to the base, the triangle equals the triangle, and the remaining angles equal the remaining angles respectively, namely those opposite the equal sides.

证明过程可见原文或此视频:

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写为“角边角”或“ASA”).

同样,这其实是《几何原本》的第26个命题,不在此赘述证明过程:

命题I.26
两个三角形如有两个角和一条边对应相等,那么其余的对应边和角都相等

第二十六題
两三角形有相當之两角等及相當之一邊等,則餘两邊必等,餘一角亦等,其一邊不論在两角之内及一角之對。

κϛ΄. Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει [ἑκατέραν ἑκατέρᾳ] καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ.

Proposition 26.
If two triangles have two angles equal to two angles respectively, and one side equal to one side, namely, either the side adjoining the equal angles, or that opposite one of the equal angles, then the remaining sides equal the remaining sides and the remaining angle equals the remaining angle.

三边分别相等的两个三角形全等(可以简写为“边边边”或“SSS”).

仍然同样,这其实是《几何原本》的第8个命题,不在此赘述证明过程:

命题I.8
如果两个三角形有三边对应相等,那么这三个三角形的所有对应角亦相等。

第八題
两三角形,若相當之两腰各等,两底亦等,則两腰間角必等。

η΄. Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖς] δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρα, ἔχῃ δὲ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην, καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην.

Proposition 8.
If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, and also have the base equal to the base, then they also have the angles equal which are contained by the equal straight lines.

证明过程可见原文或此视频:

注释

  1. 1.0 1.1 该版本中的内容顺序与其他版本不同,后两条没有与前三条放在同一章节下。

参考

  1. 1.0 1.1 “幾何原本/卷一” — 维基文库
  2. 2.0 2.1 “Στοιχεία/α”Βικιθήκη
  3. 3.0 3.1 “Euclid's Elements, Book I” ,来自David E. Joyce, Clark University。 Euclid's Elements,1996年。
  4. “Euclid's Elements, Book I, Proposition 30” ,来自David E. Joyce, Clark University。 Euclid's Elements,1996年。