高观点下的高中物理

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高中物理对于一个问题过分地简单化导致学生们对于物理问题与概念的错误理解，其主要原因是数学不够用。

因此，本页会使用大量高等数学的方法来帮助理解物理的本质。

力学

能量

功能原理和机械能守恒定律

功能原理：系统的机械能等于系统内势能、动能和非保守力所做功以及系统所受外力做的功的总和，

即[math]\displaystyle{ E = E_k + E_p + A_{\textup{内非}} + A_{\textup{外}} }[/math]

机械能守恒定律：当系统不受外力，系统内不受非保守力时，该系统机械能守恒，

即[math]\displaystyle{ E_p + E_k = \textup{恒量} }[/math]

或[math]\displaystyle{ \Delta E_p + \Delta E_k = 0 }[/math]

动量、角动量

有关的所有公式、定律、定理

动量：[math]\displaystyle{ p = mv }[/math]

冲力：[math]\displaystyle{ F = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{m \Delta v}{\Delta t}} = ma }[/math]

动量定理：[math]\displaystyle{ \sum{I_i} = \sum {m_i v_i} }[/math](这里[math]\displaystyle{ I }[/math]是冲量，量纲同动量)

动量守恒定律：系统在不受外力的情况下动量矢量和为零，即[math]\displaystyle{ \sum {m_i v_i} = 0 }[/math]

转动惯量[math]\displaystyle{ I }[/math](下面使用[math]\displaystyle{ I }[/math]的都是转动惯量)

常见物体的转动惯量，请见[[1]]

角加速度：[math]\displaystyle{ \beta = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta \omega}{\Delta t}} }[/math]

角动量：[math]\displaystyle{ J = r\times p = I\omega }[/math]

角动量守恒定律：在转动系统中，若物体只受有心力则角动量守恒，即[math]\displaystyle{ J = \textup{恒量} }[/math]

力矩：[math]\displaystyle{ M = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta J}{\Delta t}} = I\beta }[/math]

平行轴定理：设刚体质量为[math]\displaystyle{ m }[/math],选择过刚体质心的转动轴时刚体的转动惯量为[math]\displaystyle{ I_0 }[/math]，则相对于距离该转轴为[math]\displaystyle{ d }[/math]的转轴，有[math]\displaystyle{ I = I_0 + md^2 }[/math]

刚体转动动能：[math]\displaystyle{ E_k = \frac{1}{2}I\omega^2 }[/math]

刚体平衡条件：平动[math]\displaystyle{ \sum{F_i} = 0 }[/math]，转动：[math]\displaystyle{ \sum{M_i} = 0 }[/math]

总结（美妙的守恒律）

从古至今，物理中最美妙的就是守恒与不守恒。

目前，人们发现的大多是守恒律。

比如，能量守恒、动量守恒、角动量守恒、电荷守恒，以及霍金等人的猜想：信息守恒。

朗道曾经说：能量守恒体现时间平移对称性，动量守恒体现空间平移对称性，角动量守恒体现空间转动对称性，电荷守恒体现整体规范对称性。具体怎么证请参考《朗道物理学教程：力学》

但是，不守恒也有它的独到之处，宇称不守恒就诠释了宇宙在弱力作用下，正反物质不守恒，这才导致了物质湮灭时物质更占优势，而这万分之一的优势则构成了现在宇宙。

电磁学

静电场

电荷及其守恒定律

电荷守恒定律

在任何物理过程中，电荷的代数和是守恒的，这叫做电荷守恒定律。

库仑定律

万有引力与静电力

万有引力，服从半径平方衰减的规律。

静电力也是吗？（当然）

除此之外，甚至还有更有意思的现象，比如薄球壳内的物体不受万有引力，带电的薄球壳中的带电体也不受静电力。

在静电力中，我们称之为静电屏蔽（《三体》里面人类就是这么屏蔽三体人的质子的）

我们可以在这里证明万有引力的“球壳屏蔽”现象：

薄球壳

设均匀薄球壳质量的面密度为[math]\displaystyle{ \sigma }[/math]，设在球壳内任意一点[math]\displaystyle{ A }[/math]处有一个质量为[math]\displaystyle{ m }[/math]的质点。在球壳上去一个很小的面元[math]\displaystyle{ \Delta S_1 }[/math]，它的质量[math]\displaystyle{ \Delta m_1 = \sigma\Delta S_1 }[/math]，它与[math]\displaystyle{ A }[/math]点距离为[math]\displaystyle{ r_1 }[/math]，则此面元对于[math]\displaystyle{ A }[/math]处的万有引力为：

[math]\displaystyle{ \Delta F_1 = \frac{G m\Delta m_1}{r_1^2} = \frac{G\sigma m\Delta S_1}{r_1^2} }[/math]

反向延长这两条线，可以得到另一个面元[math]\displaystyle{ \Delta S_2 }[/math]，于是我们可以将面元[math]\displaystyle{ \Delta S_1、\Delta S_2 }[/math]看成线段。

故在这个圆面中，由相交弦定理可得[math]\displaystyle{ A-\Delta S_1 }[/math]与[math]\displaystyle{ A-\Delta S_2 }[/math]两个三角形相似。

故有：[math]\displaystyle{ \frac{\Delta S_1}{\Delta S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} }[/math]

且对于面元[math]\displaystyle{ \Delta S_2 }[/math]在[math]\displaystyle{ A }[/math]处的万有引力为：

[math]\displaystyle{ \Delta F_2 = \frac{G m\Delta m_2}{r_2^2} = \frac{G\sigma m\Delta S_2}{r_2^2} }[/math]

由此可知：[math]\displaystyle{ \Delta F_1 = \Delta F_2 }[/math]

且由于两处面元所提供的的万有引力正好方向相反，所以其合力为零，同理，在各个方向上的万有引力合力都是零，故质点[math]\displaystyle{ m }[/math]所受万有引力力为零。

库仑定律

设两个电荷的电量为[math]\displaystyle{ q_1，q_2 }[/math]，距离为[math]\displaystyle{ r }[/math]，则库仑力大小为：[math]\displaystyle{ F = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} }[/math]

其中：[math]\displaystyle{ k_e }[/math]是静电力常量，在真空中常常写成[math]\displaystyle{ k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} }[/math]，[math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math]被称为真空介电常量。

通常，[math]\displaystyle{ k_e = 9.0\times 10^9 \textup{N}\cdot \textup{m}^2/\textup{C}^2 }[/math]，[math]\displaystyle{ \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \textup{C}^2/\textup{N}\cdot \textup{m}^2 }[/math]。

当然，文字表述为：在真空中，两个静止的点电荷[math]\displaystyle{ q_1、q_2 }[/math]之间的相互作用力的大小和[math]\displaystyle{ q_1、q_2 }[/math]的乘积成正比，和它们之间的距离[math]\displaystyle{ r }[/math]的平方成反比；作用力方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。

当然，和万有引力一样，库仑力服从力的叠加原则。

恒定电流

大家都知道，静电场的缺点就是无法维持一个恒定的电势。在静电平衡后，就再也没有电流流动了，所以我们需要一个恒定的电势来维持一个稳定的电流。

那么什么东西可以做到呢？那就是直流电源，我们有叫作电池。

近代物理学

近代物理学是人们打破常识，将物理学科向更加纵深发展的成果。

其中发展主要聚集在20世纪前半叶，这也是科学发展的黄金时代。

知识补充

首先，狭义相对论是电磁学研究与经典力学研究发生严重冲突时引起的对物理体系的一次大修正。

所以，首先要知道著名的麦克斯韦方程组。

第一个式子为静电高斯定律，第二个为静磁高斯定律，第三个为法拉第电磁感应定律，第四个为安培—麦克斯韦定律。

微分形式：

[math]\displaystyle{ \nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \nabla\cdot\vec{B} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} }[/math]

积分形式：

[math]\displaystyle{ \oiint{\vec{E}\cdot\textup{d}\vec{s}} = \frac{Q}{\varepsilon_0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \oiint{\vec{B}\cdot\textup{d}\vec{s}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \oint_{L}{\vec{E}\cdot\textup{d}\vec{l}} = -\frac{\textup{d}\Phi_B}{\textup{d}t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \oint_{L}{\vec{B}\cdot\textup{d}\vec{l}} = \mu_0 I + \frac{\textup{d}\Phi_E}{\textup{d}t} }[/math]

狭义相对论

历史因缘

到了19世纪，物理学家法拉第凭借自己惊人的物理直觉极大的推动了电磁学的发展。

但是，他数学不好。

因此，当他隐隐感觉到有“电磁波”这样的东西时，他却无法得到电磁波的精确解 （哈！让你不学数学！）

于是，他找到了麦克斯韦，这位伟大的数学家。

在法拉第的研究基础上，麦克斯韦推出了麦克斯韦方程组，从数学上预言了电磁波的存在。

结果，问题来了。

麦克斯韦方程组指出电磁波的速度是光速。

而且，经典物理学的发展过程中，人们有两大理论支柱支撑：

第一，在任何惯性参考系下，所有物理定律的数学形式都是一样的（牛顿第二定律就是牛顿第二定律，运动方程就是运动方程，换了参考系也不会变的）

第二，是伽利略相对性原理，就是关于相对速度的计算问题（就是小学的行程问题中的相对速度）

我们是否可以认为，当我们跑得和光一样快，我们可以看到停滞的电磁波？

可是麦克斯韦方程组在大量实验中也通过了考验，证明了其正确性，再由第一条，我们可知道电磁波在任何参考系下的速度都是光速。

而这和第二条违背。

当时著名的迈克尔逊-莫雷实验测出了在地球绕太阳运转时法向和切向相对于光的速度是一样的，更加让人们百思不得其解。 （地球绕太阳运转的切向速度是[math]\displaystyle{ 2.98\times 10^4 \textup{m}/\textup{s} }[/math]，而法向速度可以看做是零，可是这样大的差别竟然没有任何一个精密仪器可以测出来！）

那么到这里，答案呼之欲出。

爱因斯坦的思考路径

爱因斯坦也想到这里，列出了上述的三条结论。

他认为：既然矛盾，那就必然有一个错了。

首先，他思考了第一个结论，如果第一个结论是错的，那么他就要找出一个不同于其他惯性系的惯性系，可是惯性系有无穷多个，又怎么能找到一个特殊的惯性系呢？况且找到了，也会违反物理的普适性。

接着，他在确立第一个结论是不会错的基础上，知道麦克斯韦方程组和伽利略相对性原理存在矛盾，它们之中必然有一个错了。

那么哪个错了呢？

爱因斯坦当然是选择了麦克斯韦方程组（毕竟搞点反常识的东西，才是科学发展的动力）

于是，他提出了狭义相对论的两条进本原则（或者说基本假设）

• 所有的参考系都是平权的
• 在所有的参考系中，电磁波的速度（光速）保持不变，叫做光速不变性。

基于两条基本原则的数学推导

钟慢效应

钟慢效应

如图所示，我们设想有一列火车以速度[math]\displaystyle{ v }[/math]向右行驶，这时从[math]\displaystyle{ A }[/math]点发出一道激光，假设[math]\displaystyle{ M }[/math]处有一面镜子，光在[math]\displaystyle{ M }[/math]处被反射至[math]\displaystyle{ B }[/math]点，假设大地上的人这一过程花费了时间[math]\displaystyle{ \Delta t }[/math]，车上的人认为时间过了[math]\displaystyle{ \Delta t' }[/math]，光速为[math]\displaystyle{ c }[/math]。

我们知道，在车厢中的人看到这束激光必定是原路返回的，即[math]\displaystyle{ A、B }[/math]两点是重合的，而在大地系上的人来看（或者相对于铁轨），光却走过了一个锯齿状的路线。

设这段路线的长度为[math]\displaystyle{ 2l }[/math]，且我们知道[math]\displaystyle{ MA = MB = l = \sqrt{MD^2 + \left(\frac{v\Delta t}{2}\right)^2} }[/math],则[math]\displaystyle{ MA + MB = 2l = \sqrt{4MD^2 + \left(v\Delta t\right)^2} = c\Delta t }[/math]

而在车上的人认为这道激光走了[math]\displaystyle{ 2MD = c\Delta t' }[/math]。

消去[math]\displaystyle{ MD }[/math]之后我们可得出这样一个式子：[math]\displaystyle{ \Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} }[/math]。

我们发现，车上的人相对于大地系中的人来讲，时间变慢了，这就称为钟慢效应。

尺缩效应

我们首先测量静止时的长度，设测得的长度为[math]\displaystyle{ L_0 = \frac{c\Delta t}{2} }[/math]。

尺缩效应

下面，我们把推导分成两个阶段。

第一阶段，左侧的激光发射器发出一道激光，整个装置向右移动速度为[math]\displaystyle{ v }[/math]。

那么我们可以得到激光出程开始直到抵达镜面的时间[math]\displaystyle{ \Delta t_1 = \frac{L}{c - v} }[/math]。

在此期间，整个装置向前移动了[math]\displaystyle{ v\Delta t_1 = \frac{Lv}{c-v} }[/math]，

第二阶段，激光被反射，回到正在前进的装置左端，接收的时间花费了时间[math]\displaystyle{ \Delta t_2 = \frac{L}{c + v} }[/math]

两段总时间为[math]\displaystyle{ \Delta t' = \Delta t_1 + \Delta t_2 = \frac{2cL}{c^2 - v^2} = \frac{2L}{c\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)} }[/math]。

结合可知[math]\displaystyle{ \frac{\Delta t'}{\Delta t} = \frac{L}{L_0\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} }[/math]。

这样我们解得[math]\displaystyle{ L = L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} }[/math]。

这说明，在大地系的人的眼中，这个运动的装置长度缩短了。

闵氏时空

闵氏时空是爱因斯坦的数学老师闵可夫斯基创造的时空坐标系，从数学的角度极大的简化了狭义相对论的物理过程。

首先，闵可夫斯基建立了一个平面之间坐标系，横轴是空间轴，又叫[math]\displaystyle{ x }[/math]轴，纵轴是时间轴，又叫[math]\displaystyle{ ct }[/math]轴,通常只写作[math]\displaystyle{ t }[/math]，之所以在时间上乘以一个光速，为的是让以光速运动的物体在坐标轴中的轨迹始终是象限的角平分线（或者说，在狭义相对论中，我们规定光速[math]\displaystyle{ c = 1 }[/math]，这样可以简化很多问题的计算）。

由于狭义相对论只是对速度的问题作了讨论，因此不考虑加速问题，所以闵氏时空和狭义相对论的时空必须一致，即都是平直的，也都只能研究匀速运动的问题。

闵氏时空

在一个参考系相对于另一个参考系匀速运动时，它会发生收缩，即洛伦兹变换，那么对应着闵氏时空，这个参考系的坐标系也会相应的收缩，就像图中所示的坐标系[math]\displaystyle{ x'Oct' }[/math]。

这里运动参考系的坐标系收缩时，时间轴在静止系中的斜率为[math]\displaystyle{ ±\frac{c}{v} }[/math]，空间轴在静止系中的斜率为[math]\displaystyle{ ±\frac{v}{c} }[/math]，它们同正同负，具体正负应依照相对运动的方向来定。

我们把一个物体上发生物理过程用一条曲线或直线来表示，这条线被称作这个物体的世界线。

最值得一提的是，在闵氏时空中，规定：两点之间直线最长，因为闵氏时空的距离公式为[math]\displaystyle{ d = \sqrt{\left|\left(t_1-t_2\right)^2 - \left(x_1-x_2\right)^2\right|} }[/math]，一般情况下，我们把一个事件的开始点设在原点处，所以距离公式一般简写作[math]\displaystyle{ d = \sqrt{\left|t^2-x^2\right|} }[/math]

所以不难发现，等长线段必须要通过双曲线才能在图上直观比较出距离的大小。

物理上把这四支双曲线称之为闵氏时空的校准曲线。

因为闵氏时空下的距离公式中根号下带绝对值，所以不难推得，当[math]\displaystyle{ d = \sqrt{t^2-x^2} }[/math]时，这个物理过程更靠近时间轴，所以对于这种情况，称之为类时的；而当[math]\displaystyle{ d = \sqrt{x^2-t^2} }[/math]时，称这个物理过程为类空的。

类时时空由于比光的世界线更靠近时间轴，所以在原点一个物体可以用一段连续曲线所表示的物理过程来到达位于类时时空中的点（可以称之为一个事件），即速度小于光速；反之，类空时空中的速度由于超越了光速，所以这个物体是没有办法自己到达这个点的，不过随着时间的推移，类空时空会因为空间轴在时间上平移而变为类时时空，但这个物体所观测到这个事件时，这个事件已经发生过一段时间了。

光的世界线就是类时和类空的临界，因为类时时空很像沙漏，所以类时时空就是大名鼎鼎的“时光锥”，在锥内的事件是人们可控的，锥外的则不是。

显然，发明这个时空坐标系是有很大用处的，我们看图：根据校准曲线，我们可以看到[math]\displaystyle{ OA }[/math]比[math]\displaystyle{ OB }[/math]更长，而同作为描述时间长度的线段，我们便可以知道，运动的参考系比静止的参考系时间走得更慢一些，这就是钟慢效应的几何解释。同理，我们可以看到尺缩效应在这张图上被完美诠释了。

关于狭义相对论的几个基本问题

对钟

对钟是指在同一个惯性系内，所有的标准钟都可以对到同一示数。

我们设想有两个人相距非常遥远，两个手中各有一只钟，其中一个人在[math]\displaystyle{ a }[/math]时刻发出一道激光，而另一个人用镜子将其反射，原路返回，直到第一个人在[math]\displaystyle{ b }[/math]时刻接受到信号，于是他可以推算出对方的接收到该信号的时刻为[math]\displaystyle{ \frac{a + b}{2} }[/math]，此时他打一个电话告诉另外一个人自己的所作所为，那个人就可以根据经过的时间，把钟的时刻对的和他一模一样。

对钟问题是解决下面三个问题的基础。