物竞小黑板

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“高考易错题”

谈到高考易错题，大多数人想到的是学生容易做错的题目。但我们这里讨论一些老师容易出错的题目。

例1

例1-图1

在一个光滑水平面上有一孔，中间穿过一根轻绳，桌面上的一段连接一个质量为[math]\displaystyle{ m }[/math]的球，桌面下的一段连接两个质量为[math]\displaystyle{ m }[/math]的球，桌面上绳长初态为[math]\displaystyle{ l }[/math]。桌面上的球以切向速度[math]\displaystyle{ v_0=\sqrt{gl} }[/math]绕孔做圆周运动。现在释放绳，问桌面上绳最短为多长？

我们设桌面上的绳缩短量为[math]\displaystyle{ x }[/math]，则我们需要算出[math]\displaystyle{ x_\rm{max} }[/math]的值。

如果这题被老师一时兴起出到高考试卷上，那么解题过程应该是这样的：

由能量守恒：[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 - 2mgx }[/math] ①

由牛顿第二定律：[math]\displaystyle{ \frac{mv_1^2}{l - x} = 2mg }[/math] ②

然而这样做是不对的。这里默认了[math]\displaystyle{ x_\rm{max} }[/math]时沿绳方向的加速度只有向心加速度。事实上，此时沿绳不止有向心加速度，桌面下方的[math]\displaystyle{ 2m }[/math]会再次上升，原因在最后会解释。

那我们怎样解决这个问题呢？我们可以使用角动量。

由[math]\displaystyle{ \vec{F} = m \vec{a} }[/math]：

[math]\displaystyle{ \vec{r} \times \vec{F} \cdot \Delta t = \vec{r} \times m \vec{a} \cdot \Delta t }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec{M} \cdot \Delta t = \vec{r} \times m \Delta \vec{v} }[/math]

又[math]\displaystyle{ \Delta (\vec{r} \times m \vec{v}) }[/math]

[math]\displaystyle{ = \Delta \vec{r} \times m \vec{v} + \vec{r} \times \Delta (m \vec{v}) }[/math]

[math]\displaystyle{ = \vec{v} \cdot \Delta t \times m \vec{v} + \vec{r} \times m \Delta \vec{v} }[/math]

[math]\displaystyle{ = 0 + \vec{r} \times m \Delta \vec{v} }[/math]

所以[math]\displaystyle{ \vec{M} \cdot \Delta t = \Delta (\vec{r} \times m \vec{v}) }[/math]

记作[math]\displaystyle{ \vec{H} = \Delta \vec{L} }[/math]

其中，[math]\displaystyle{ \vec{H} }[/math]是角冲量，[math]\displaystyle{ \vec{L} }[/math]是角动量。

在此题中，使用角动量是好的。因为桌面上的小球受到绳的力是有心力，即：若选孔为支点，则运动过程中绳上拉力力臂始终为0，力矩为0，角动量守恒。

由此，得方程：[math]\displaystyle{ m v_0 l = m v_1 (l-x) }[/math] ③

联立①③，得[math]\displaystyle{ x_\rm{max}=\frac{7-\sqrt{17}}{8} }[/math][math]\displaystyle{ l }[/math]

由这个结果不难发现，[math]\displaystyle{ x_\rm{max} }[/math]时，向心加速度为[math]\displaystyle{ \frac{-13+5\sqrt{17}}{2}g \gt 2g }[/math]，说明我们之前的想法是正确的。

这个问题就轻松而愉快地解决了！

一点数学

几何法（一）

设[math]\displaystyle{ x \lt R }[/math] , 求[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^3 \theta}{(x^2+R^2-2xR \cos \theta)^{\frac{3}{2}}}\,\textup{d}\theta }[/math]

答案：[math]\displaystyle{ \frac{4}{3R^3} }[/math]

本题的常规解法是将分子上的一个[math]\displaystyle{ \sin\theta }[/math]放进[math]\displaystyle{ \textup{d}\theta }[/math]里，以[math]\displaystyle{ \cos\theta }[/math]为变元进行积分。然而这样的积分还需进行繁杂的换元操作，计算起来煞费功夫。

然而我们进行一些观察就能得到一些“巧妙”的细节：从题面入手，分母是齐次式，并且具有余弦定理的形式；从答案入手，答案中竟然不含[math]\displaystyle{ x }[/math]，又可以发现[math]\displaystyle{ \frac{4}{3}=\int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta\,\textup{d}\theta }[/math]。这一切似乎都在将我们引向一个更好的解法：几何法。

例2-图1

各量的意义已在图中标明。

由余弦定理，不难得出[math]\displaystyle{ l=\sqrt{x^2+R^2-2xR \cos \theta} }[/math]

由正弦定理，不难得出[math]\displaystyle{ \frac{\sin\theta}{l}=\frac{\sin\varphi}{R}=\frac{\sin\alpha}{x} }[/math]

由图中的几何关系，[math]\displaystyle{ \textup{d}\theta=\textup{d}\varphi-\textup{d}\alpha }[/math]

考虑到[math]\displaystyle{ x \lt R }[/math]的条件下，[math]\displaystyle{ \theta :0 \rightarrow \frac{\pi}{2} }[/math]的过程对应[math]\displaystyle{ \varphi :0 \rightarrow \frac{\pi}{2} }[/math]和[math]\displaystyle{ \alpha :0 \rightarrow 0 }[/math]

于是有[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^3 \theta}{(x^2+R^2-2xR \cos \theta)^{\frac{3}{2}}}\,\textup{d}\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^3 \theta}{(x^2+R^2-2xR \cos \theta)^{\frac{3}{2}}}\,\textup{d}\varphi - \int_{0}^{0} \frac{\sin^3 \theta}{(x^2+R^2-2xR \cos \theta)^{\frac{3}{2}}}\,\textup{d}\alpha }[/math]

[math]\displaystyle{ = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^3 \varphi}{R^3}\,\textup{d}\varphi - \int_{0}^{0} \frac{\sin^3 \alpha}{x^3}\,\textup{d}\alpha }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{4}{3R^3} }[/math]

我们可以自然地由几何得到，这个积分的结果和[math]\displaystyle{ x }[/math]与[math]\displaystyle{ R }[/math]的大小关系有关。

Microcandela（留言）于2024年4月独立得出以上结果。

Microcandela（留言） 2024年5月11日 (六) 15:42 (UTC) 时隔3年，再度编写此条目。

几何法（二）

将许多石块以相同的速度大小[math]\displaystyle{ v_{0} }[/math]，不同的发射角[math]\displaystyle{ \theta }[/math]从地面上[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math]点抛出，石块在重力的作用下会以抛物线轨道运动，它们与地面发生完全非弹性碰撞，碰到地面后立刻停止运动。求在同一竖直面内各抛物线轨道离原点最远点所组成的曲线的方程。

本题可以通过正常的代数解法解出答案，但将面临繁琐的三角函数运算化简，并且需要借助“惊人的注意力”。事实上，当我们进行几步简单的运算后，便可发现一些直线间的斜率关系，启示我们向几何法靠近。

首先进行几步初步的运算：

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x=v_{0} t \cos\theta \\ y=v_{0} t \sin\theta - \frac{1}{2} g t^{2} \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow t=\frac{x}{v_{0} \cos \theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow y=x \tan \theta-\frac{g x^{2}}{2v_{0}^{2}} (1+\tan ^{2} \theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]顶点[math]\displaystyle{ (\frac{v_{0}^{2} \sin \theta \cos \theta}{g} , \frac{v_{0}^{2} \sin ^{2}theta}{2g}) }[/math]

《力学篇 程稼夫》就已经指出，最远点满足条件[math]\displaystyle{ \vec{r} \cdot \vec{v}=0 }[/math]即[math]\displaystyle{ \frac{y}{x} \cdot \frac{v_{y}}{v_{x}} = -1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow \frac{v_{0} t \sin\theta - \frac{1}{2} g t^{2}}{v_{0} t \cos\theta} \cdot \frac{v_{0} \sin\theta - g t}{v_{0} \cos\theta } = -1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} (g t)^{2} -\frac{3}{2} v_{0} \sin \theta \cdot g t +v_{0}^{2} = 0 }[/math]

将[math]\displaystyle{ g t }[/math]看作变元，需满足[math]\displaystyle{ \Delta = \frac{9}{4} v_{0}^{2} \sin ^{2} \theta – 2 v_{0}^{2}\geq 0 }[/math]