初高中物理对比

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“

初中物理是文科。

”

——夏军

众所周知，初中物理和高中物理的理念并不相同，几乎背道而驰。

此页面会对初中物理的不合理之处进行列举，并与高中物理进行比较。当然，也会引入更为严谨的物理概念。

若无特殊说明，文中初中物理教材内容默认选自苏科版教材，高中物理教材内容默认选自人教版教材。

力学

质点运动学

初高中对比

初中物理的运动学章节位于八年级上册第五章。

整本八上教材只出现了一个公式：[math]\displaystyle{ v=\frac{s}{t} }[/math]，而这甚至在小学都人尽皆知。同时，初中仅介绍了匀速直线运动。

高中物理的运动学位于必修一的第一、二章。首先，它介绍了质点、参考系、时间和位移的概念。

初中的速度是标量，而速度实际上是矢量。这是由于初中的速度是用路程（[math]\displaystyle{ s }[/math]）这个标量得到的，而高中的速度则是用位移（[math]\displaystyle{ x }[/math]）这个矢量得到的。另外，速度的大小称作速率，是一个标量。

• [math]\displaystyle{ v=\frac{\Delta x}{\Delta t} }[/math]

而在直线运动中，高中物理介绍的是匀变速直线运动。这就需要引入加速度（[math]\displaystyle{ a }[/math]）这个物理量。

• [math]\displaystyle{ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{t}-v_{0}}{t} }[/math]

随之而来的是公式：

• [math]\displaystyle{ v=v_{0}+at }[/math]
• [math]\displaystyle{ x=\frac{v_{0}+v}{2}t=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2} }[/math]

以及其推论：

• [math]\displaystyle{ v_{t}^{2}-v_{0}^{2}=2ax }[/math]
• [math]\displaystyle{ v_{\frac{t}{2}}=\frac{v_{0}+v_{t}}{2}=\overline{v}=\frac{x}{t} }[/math]
• [math]\displaystyle{ v_{\frac{s}{2}}=\sqrt{\frac{v_{0}^{2}+v_{t}^{2}}{2}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \Delta x=aT^{2} }[/math]

相比之下，初中的运动学显得极其苍白无力。甚至还不如小学数学（？）

在这之后，高中物理还介绍了自由落体运动。这里提到了在初中没有名分的“[math]\displaystyle{ g }[/math]”。它在初中仅仅“是一个比值”，大小为[math]\displaystyle{ 10\mathrm{N/kg} }[/math]。 这是因为初中并没有加速度的概念，也就不可能进一步介绍。而在高中物理，明确了所谓的“[math]\displaystyle{ g }[/math]”其实是自由落体加速度，又称重力加速度。在一般的计算中，[math]\displaystyle{ g }[/math]取[math]\displaystyle{ 9.8\mathrm{m/s^{2}} }[/math]或[math]\displaystyle{ 10\mathrm{m/s^{2}} }[/math]。[math]\displaystyle{ g }[/math]的单位既可以是[math]\displaystyle{ \mathrm{m/s^{2}} }[/math]，也可以是[math]\displaystyle{ \mathrm{N/kg} }[/math]，这涉及到牛顿第二定律的内容。

在书中，自由落体运动存在2个公式变式：

• [math]\displaystyle{ v=gt }[/math]
• [math]\displaystyle{ h=\frac{1}{2}gt^{2} }[/math]

更为严谨的补充

在匀速直线运动中，速度是位移与所用时间的比值： [math]\displaystyle{ v=\frac{x}{t} }[/math]。

在变速运动中，速度分为平均速度和瞬时速度。平均速度为[math]\displaystyle{ \overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t} }[/math]。瞬时速度为[math]\displaystyle{ \Delta t }[/math]趋近于零时的平均速度，数学表达式为[math]\displaystyle{ v=\mathop{{ \text{lim} }}\limits_{{ \Delta t \to 0}}\frac{{ \Delta x}}{{ \Delta t}}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} }[/math]。

在变速运动中，平均加速度为[math]\displaystyle{ \overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t} }[/math]。瞬时加速度为[math]\displaystyle{ \frac{\Delta v}{\Delta t} }[/math]趋近于零时的平均加速度，数学表达式为[math]\displaystyle{ a=\mathop{{ \text{lim} }}\limits_{{ \Delta t \to 0}}\frac{{ \Delta v}}{{ \Delta t}}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} }[/math]。

质点静力学

初高中对比

初中物理的力学章节位于八年级下册第八章。

此章中只出现了一个公式：[math]\displaystyle{ G=mg }[/math]，并介绍了力的基本概念、弹力、重力、力的示意图、摩擦力（滑动摩擦力）以及牛顿第三定律（未出现定律名称，表述为“力的作用是相互的”）等内容。总的来说，初中的力学这一章中的大部分概念和高中差别并不大。

高中物理的力学章节位于必修一第三章，介绍了重力、弹力、摩擦力、牛顿第三定律、力的合成与分解和共点力的平衡等内容。其中出现了以下公式：

• [math]\displaystyle{ G=mg }[/math]
• [math]\displaystyle{ F_{f}=kx }[/math]
• [math]\displaystyle{ F_{f}=\mu F_{N} }[/math]（以及变式[math]\displaystyle{ \mu =\frac{F_{f}}{F_{N}} }[/math])

[math]\displaystyle{ F_{f} }[/math]常被直接记作[math]\displaystyle{ f }[/math]。

在初中的力学章节中，最大的问题就是关于摩擦力的表述：

一个物体在另一个物体表面上滑动时，会受到阻碍它运动的力，这种力叫做滑动摩擦力。

^{[取自八年级下册第八章]}

鉴于初中没有提到静摩擦力，这显得更加不可理喻。只学过初中物理的同学会很痛苦，他们会觉得“摩擦力是个坏蛋”，只能阻碍运动。而实际上，摩擦力只是阻碍相对运动（滑动摩擦力）或相对运动趋势（静摩擦力），而不是阻碍运动。随便举一个例子，传送带上的物体受到摩擦力，但其并没有阻碍物体的运动。

质点动力学

初高中对比

初中物理的力与运动的关系章节位于八年级下册第九章。

此中只出现了牛顿第一定律，又被称为惯性定律：

任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。

^{[取自八年级下册第九章]}

而这之后，由于没有加速度这里物理量的加入，初中的质点动力学便止步于此。

高中的动力学在静力学和运动学的基础上进行组合，得到了动力学。其中起到关键的桥梁作用的便是牛顿第二定律:[math]\displaystyle{ F=ma }[/math]

文字表述为：

物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，且与物体质量的倒数成正比；加速度的方向跟作用力的方向相同。

^{[取自高中必修一]}

从文字表述不难看出加速度有了自己的决定式，即牛顿第二定律的变式：[math]\displaystyle{ a=\frac{F}{m} }[/math]

有了它，牛顿三定律才算是成功集齐，自此，牛顿力学逐渐圆满。

机械能

初高中对比

初中的机械能讲学的分布零散，集中在九上第十一、十二章。

其中定义了机械能、机械功、有用功、总功、额外功、机械效率、动能、重力势能和弹性势能这些物理量。

但是大多数的定义都是单薄的，有些表述不尽完美。

功

功的定义：

作用在物体上的力与物体在力的方向上移动的距离的乘积叫功。

^{[取自九年级上册第十一章]}

即：[math]\displaystyle{ W=Fs }[/math]

那么问题来了，对于一个问题，假如我们并不知道物体在力的方向上移动的距离呢？我们知道，力有方向，而距离没有方向（所以初中没有负功），难道功有方向吗？（然而事实证明并没有。）

力、位移和距离

这时我们就会发现：根据高中数学，能够将向量乘上另外一个量而使得这个乘积的结果为一个没有方向的量（标量）时，满足条件的只可能是点乘运算，这也就代表着距离应该是向量，可是显然距离不是向量（向量不会是曲线，就像图中所示）。

所以，我们应该使用一种向量形式的物理量，

这个物理量在质点运动学中称为位移。

于是，我们有：[math]\displaystyle{ W=\pmb{F}\cdot\pmb{l} }[/math]

即：[math]\displaystyle{ W=Fl\cos\theta }[/math]

机械效率

机械效率出自九年级上册十一章。（这一概念在高中物理中是没有的。或许是因为初中物理看实际生活，高中物理重理论分析的原因？）

首先是几个概念：

1.有用功[math]\displaystyle{ (W_{有用}) }[/math]：必须需要做的功。

2.额外功[math]\displaystyle{ (W_{额外}) }[/math]：在使用机械时，不对物体做功有帮助但是而又不得不做的功。难道这部分功就不是必须要做的功了吗？

3.总功[math]\displaystyle{ (W_{总}) }[/math]：有用功和额外功的总和。

综上，就可定义机械效率：[math]\displaystyle{ \eta = \frac{W_{有用}}{W_{总}} \times 100 \% }[/math]。

动能

动能出自九年级上册十一章

表述为：因物体运动而具有的能量叫动能，动能与物体的质量和速度有关，质量越大，速度越大，物体的动能越大。

可是，也只有这个了。

高中给出了动能的公式，即：[math]\displaystyle{ E_k = \frac{1}{2}mv^2 }[/math]（其实在学更多之后，你会发现初中的表述更准确。）

相对论情况下的动能公式：[math]\displaystyle{ E_k = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - m_0 c^2 }[/math]（你知道的太多了）

关于初中物理书上的动能实验，高中物理中是可以明确知道这个实验是错的，但是又没错，总之歪打正着。编书者也真是用心良苦了。

根据完全非弹性对心碰撞，动能损失和整个系统的原动能成正比

势能

势能[math]\displaystyle{ \left(E_p \right) }[/math]又称“位能”，指的是 一个物体因为它所处的位置而具有的能量，就是说，有一种力做功，它只看物体做功前后的相对位置关系，这类力称为“保守力”

在初中物理中，只提及了重力势能和弹性势能，而且只探究了重力势能。

最终有这样的结论：重力势能和物体的质量和它所处的高度有关，物体质量越大，高度越高，重力势能越大。

其实，并不需要高中物理，由初中物理对功的定义，我们就可以得出，物体移动的距离，在重力方向上永远是竖直的，即物体与零势能面的高度差。

这样想，我们就可以直接导出重力势能公式：[math]\displaystyle{ E_G = mgh }[/math].这或许是初中物理为数不多的成功之处

弹性势能在初中物理中只有一张图，即撑杆跳。

而高中物理则给出了弹性势能的公式：[math]\displaystyle{ E_p = \frac{1}{2}kx^2 }[/math]

高中物理中还有引力势能：[math]\displaystyle{ E_p = -\textup{G}\frac{ m_1 m_2}{r} }[/math] 这是选择无穷远处为零势能面。

如果选择地表为零势能面，那么在地表附近[math]\displaystyle{ \left(h \ll r \right) }[/math]，我们有[math]\displaystyle{ mg = \textup{G}\frac{ m_1 m_2}{r^2} }[/math]

其实还有很多势能，如：分子势能，电势能等等。

功能原理和机械能守恒定律

功能原理：系统的机械能等于系统内势能、动能和非保守力所做功以及系统所受外力做的功的总和，

即[math]\displaystyle{ E = E_k + E_p + A_{\textup{内非}} + A_{\textup{外}} }[/math]

机械能守恒定律：当系统不受外力，系统内不受非保守力时，该系统机械能守恒，

即[math]\displaystyle{ E_p + E_k = \textup{恒量} }[/math]

或[math]\displaystyle{ \Delta E_p + \Delta E_k = 0 }[/math]

动量、角动量

初高中对比

动量和角动量在初中物理中自然是没有的，但是它有杠杆平衡条件公式：[math]\displaystyle{ \textup{动力}\left(F_1 \right)\times \textup{力臂}\left(L_1\right) = \textup{阻力}\left(F_2\right)\times \textup{阻力臂}\left(L_2\right) }[/math]

力臂在高中的转动问题中被叫做径矢 ,注意到力和力臂是叉乘，所以杠杆平衡条件公式的实质是力矩平衡。

力矩可以写为[math]\displaystyle{ M = F \times l }[/math]

高中有关的所有公式、定律、定理

(包括物竞)

动量：[math]\displaystyle{ p = mv }[/math]

冲力：[math]\displaystyle{ F = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{m \Delta v}{\Delta t}} = ma }[/math]

动量定理：[math]\displaystyle{ \sum{I_i} = \sum {m_i v_i} }[/math](这里[math]\displaystyle{ I }[/math]是冲量，量纲同动量)

动量守恒定律：系统在不受外力的情况下动量矢量和为零，即[math]\displaystyle{ \sum {m_i v_i} = 0 }[/math]

转动惯量[math]\displaystyle{ I }[/math](下面使用[math]\displaystyle{ I }[/math]的都是转动惯量)

常见物体的转动惯量，请见[[1]]

角加速度：[math]\displaystyle{ \beta = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta \omega}{\Delta t}} }[/math]

角动量：[math]\displaystyle{ J = r\times p = I\omega }[/math]

角动量守恒定律：在转动系统中，若物体只受有心力则角动量守恒，即[math]\displaystyle{ J = \textup{恒量} }[/math]

力矩：[math]\displaystyle{ M = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta J}{\Delta t}} = I\beta }[/math]

平行轴定理：设刚体质量为[math]\displaystyle{ m }[/math],选择过刚体质心的转动轴时刚体的转动惯量为[math]\displaystyle{ I_0 }[/math]，则相对于距离该转轴为[math]\displaystyle{ d }[/math]的转轴，有[math]\displaystyle{ I = I_0 + md^2 }[/math]

刚体转动动能：[math]\displaystyle{ E_k = \frac{1}{2}I\omega^2 }[/math]

刚体平衡条件：平动[math]\displaystyle{ \sum{F_i} = 0 }[/math]，转动：[math]\displaystyle{ \sum{M_i} = 0 }[/math]

总结（美妙的守恒律）

从古至今，物理中最美妙的就是守恒与不守恒。

目前，人们发现的大多是守恒律。

比如，能量守恒、动量守恒、角动量守恒、电荷守恒，以及霍金等人的猜想：信息守恒。

朗道曾经说：能量守恒体现时间平移对称性，动量守恒体现空间平移对称性，角动量守恒体现空间转动对称性，电荷守恒体现整体规范对称性。具体怎么证请参考《朗道物理学教程：力学》

但是，不守恒也有它的独到之处，宇称不守恒就诠释了宇宙在弱力作用下，正反物质不守恒，这才导致了物质湮灭时物质更占优势，而这万分之一的优势则构成了现在宇宙。

电磁学

静电场

初高中对比

初中其实根本没有讲静电场。那为什么还要讲呢？

但是，讲了电荷。

即这个世界上只有两种电荷，正电荷和负电荷，规定与丝绸摩擦后的玻璃棒带正电，与毛皮摩擦过的橡胶棒带负电。

同种电荷相斥，异种电荷相吸。

还有，质子带正电荷，电子带负电荷，中子不带电。

然后没了。原来讲的都是小学生科学课学的东西啊。

高中就丰富了——

电荷及其守恒定律

两种电荷

首先，讲了电荷的单位是库仑（[math]\displaystyle{ \textup{C} }[/math]）

单位电荷的大小是[math]\displaystyle{ e = 1.602176462\times 10^{-19}\textup{C} }[/math]

电子的质量是[math]\displaystyle{ m_e = 0.91\times 10^{-30}\textup{kg} }[/math]

电子荷质比为[math]\displaystyle{ \frac{e}{m_e} = 1.76\times 10^{11}\textup{C/kg} }[/math]

静电感应

然后讲了导体、绝缘体、半导体。

导体中电荷可以自由流动，称为自由电荷。

绝缘体中的电荷大多只能在原子或分子附近做微小位移的运动，称为束缚电荷。

半导体分N、P两种，N是载流子多为电子时的半导体，P是多数载流子是带正电的“空穴”（失去了电子的原子或分子）。

电荷守恒定律

在任何物理过程中，电荷的代数和是守恒的，这叫做电荷守恒定律。

库仑定律

万有引力与静电力

万有引力，服从半径平方衰减的规律。

静电力也是吗？（当然）

除此之外，甚至还有更有意思的现象，比如薄球壳内的物体不受万有引力，带电的薄球壳中的带电体也不受静电力。

在静电力中，我们称之为静电屏蔽（《三体》里面人类就是这么屏蔽三体人的质子的）

我们可以在这里证明万有引力的“球壳屏蔽”现象：

薄球壳

设均匀薄球壳质量的面密度为[math]\displaystyle{ \sigma }[/math]，设在球壳内任意一点[math]\displaystyle{ A }[/math]处有一个质量为[math]\displaystyle{ m }[/math]的质点。在球壳上去一个很小的面元[math]\displaystyle{ \Delta S_1 }[/math]，它的质量[math]\displaystyle{ \Delta m_1 = \sigma\Delta S_1 }[/math]，它与[math]\displaystyle{ A }[/math]点距离为[math]\displaystyle{ r_1 }[/math]，则此面元对于[math]\displaystyle{ A }[/math]处的万有引力为：

[math]\displaystyle{ \Delta F_1 = \frac{G m\Delta m_1}{r_1^2} = \frac{G\sigma m\Delta S_1}{r_1^2} }[/math]

反向延长这两条线，可以得到另一个面元[math]\displaystyle{ \Delta S_2 }[/math]，于是我们可以将面元[math]\displaystyle{ \Delta S_1、\Delta S_2 }[/math]看成线段。

故在这个圆面中，由相交弦定理可得[math]\displaystyle{ A-\Delta S_1 }[/math]与[math]\displaystyle{ A-\Delta S_2 }[/math]两个三角形相似。

故有：[math]\displaystyle{ \frac{\Delta S_1}{\Delta S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} }[/math]

且对于面元[math]\displaystyle{ \Delta S_2 }[/math]在[math]\displaystyle{ A }[/math]处的万有引力为：

[math]\displaystyle{ \Delta F_2 = \frac{G m\Delta m_2}{r_2^2} = \frac{G\sigma m\Delta S_2}{r_2^2} }[/math]

由此可知：[math]\displaystyle{ \Delta F_1 = \Delta F_2 }[/math]

且由于两处面元所提供的的万有引力正好方向相反，所以其合力为零，同理，在各个方向上的万有引力合力都是零，故质点[math]\displaystyle{ m }[/math]所受万有引力力为零。

库仑定律

设两个电荷的电量为[math]\displaystyle{ q_1，q_2 }[/math]，距离为[math]\displaystyle{ r }[/math]，则库仑力大小为：[math]\displaystyle{ F = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} }[/math]

其中：[math]\displaystyle{ k_e }[/math]是静电力常量，在真空中常常写成[math]\displaystyle{ k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} }[/math]，[math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math]被称为真空介电常量。

通常，[math]\displaystyle{ k_e = 9.0\times 10^9 \textup{N}\cdot \textup{m}^2/\textup{C}^2 }[/math]，[math]\displaystyle{ \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \textup{C}^2/\textup{N}\cdot \textup{m}^2 }[/math]。

当然，文字表述为：在真空中，两个静止的点电荷[math]\displaystyle{ q_1、q_2 }[/math]之间的相互作用力的大小和[math]\displaystyle{ q_1、q_2 }[/math]的乘积成正比，和它们之间的距离[math]\displaystyle{ r }[/math]的平方成反比；作用力方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。

当然，和万有引力一样，库仑力服从力的叠加原则。

各种基本作用力的进一步的对比

我们取两个各带电[math]\displaystyle{ 1\textup{C} }[/math]，质量为[math]\displaystyle{ 1\textup{kg} }[/math]，相距[math]\displaystyle{ 1\textup{m} }[/math]的点电荷，定量计算这两个电荷之间的库仑力和万有引力

库仑力：[math]\displaystyle{ F_{\textup{库仑力}} = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \textup{N} }[/math]

万有引力：[math]\displaystyle{ F_{\textup{万有引力}} =\frac{Gm_1 m_2}{r^2} = 6.67 \times 10^{-11} \textup{N} }[/math]

对比一下：[math]\displaystyle{ \frac{F_{\textup{库仑力}}}{F_{\textup{万有引力}}} = \frac{9.0 \times 10^9}{6.67 \times 10^{-11}} = 1.35 \times 10^{21} }[/math]

可见作为电磁力的一种，库仑力远大于万有引力。

近代物理学

近代物理学是人们打破常识，将物理学科向更加纵深发展的成果。

其中发展主要聚集在20世纪前半叶，这也是科学发展的黄金时代。

初高中对比

初中虽然什么都没讲，但是至少讲到了核裂变、阴极射线等等，所以还是和近代物理有些关系的。

狭义相对论

历史因缘

到了19世纪，物理学家法拉第凭借自己惊人的物理直觉极大的推动了电磁学的发展。

但是，他数学不好。

因此，当他隐隐感觉到有“电磁波”这样的东西时，他却无法得到电磁波的精确解 （哈！让你不学数学！）

于是，他找到了麦克斯韦，这位伟大的数学家。

在法拉第的研究基础上，麦克斯韦推出了麦克斯韦方程组，从数学上预言了电磁波的存在。

结果，问题来了。

麦克斯韦方程组指出电磁波的速度是光速。

而且，经典物理学的发展过程中，人们有两大理论支柱支撑：

第一，在任何惯性参考系下，所有物理定律的数学形式都是一样的（牛顿第二定律就是牛顿第二定律，运动方程就是运动方程，换了参考系也不会变的）

第二，是伽利略相对性原理，就是关于相对速度的计算问题（就是小学的行程问题中的相对速度）

我们是否可以认为，当我们跑得和光一样快，我们可以看到停滞的电磁波？

可是麦克斯韦方程组在大量实验中也通过了考验，证明了其正确性，再由第一条，我们可知道电磁波在任何参考系下的速度都是光速。

而这和第二条违背。

当时著名的迈克尔逊-莫雷实验测出了在地球绕太阳运转时法向和切向相对于光的速度是一样的，更加让人们百思不得其解。 （地球绕太阳运转的切向速度是[math]\displaystyle{ 2.98\times 10^4 \textup{m}/\textup{s} }[/math]，而法向速度可以看做是零，可是这样大的差别竟然没有任何一个精密仪器可以测出来！）

那么到这里，答案呼之欲出。

爱因斯坦的思考路径

爱因斯坦也想到这里，列出了上述的三条结论。

他认为：既然矛盾，那就必然有一个错了。

首先，他思考了第一个结论，如果第一个结论是错的，那么他就要找出一个不同于其他惯性系的惯性系，可是惯性系有无穷多个，又怎么能找到一个特殊的惯性系呢？况且找到了，也会违反物理的普适性。

接着，他在确立第一个结论是不会错的基础上，知道麦克斯韦方程组和伽利略相对性原理存在矛盾，它们之中必然有一个错了。

那么哪个错了呢？

爱因斯坦当然是选择了麦克斯韦方程组（毕竟搞点反常识的东西，才是科学发展的动力）

于是，他提出了狭义相对论的两条进本原则（或者说基本假设）

• 所有的参考系都是平权的
• 在所有的参考系中，电磁波的速度（光速）保持不变，叫做光速不变性。

基于两条基本原则的数学推导

钟慢效应

钟慢效应

如图所示，我们设想有一列火车以速度[math]\displaystyle{ v }[/math]向右行驶，这时从[math]\displaystyle{ A }[/math]点发出一道激光，假设[math]\displaystyle{ M }[/math]处有一面镜子，光在[math]\displaystyle{ M }[/math]处被反射至[math]\displaystyle{ B }[/math]点，假设大地上的人这一过程花费了时间[math]\displaystyle{ \Delta t }[/math]，车上的人认为时间过了[math]\displaystyle{ \Delta t' }[/math]，光速为[math]\displaystyle{ c }[/math]。

我们知道，在车厢中的人看到这束激光必定是原路返回的，即[math]\displaystyle{ A、B }[/math]两点是重合的，而在大地系上的人来看（或者相对于铁轨），光却走过了一个锯齿状的路线。

设这段路线的长度为[math]\displaystyle{ 2l }[/math]，且我们知道[math]\displaystyle{ MA = MB = l = \sqrt{MD^2 + \left(\frac{v\Delta t}{2}\right)^2} }[/math],则[math]\displaystyle{ MA + MB = 2l = \sqrt{4MD^2 + \left(v\Delta t\right)^2} = c\Delta t }[/math]

而在车上的人认为这道激光走了[math]\displaystyle{ 2MD = c\Delta t' }[/math]。

消去[math]\displaystyle{ MD }[/math]之后我们可得出这样一个式子：[math]\displaystyle{ \Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} }[/math]。

我们发现，车上的人相对于大地系中的人来讲，时间变慢了，这就称为钟慢效应。

尺缩效应

我们首先测量静止时的长度，设测得的长度为[math]\displaystyle{ L_0 = \frac{c\Delta t}{2} }[/math]。

尺缩效应

下面，我们把推导分成两个阶段。

第一阶段，左侧的激光发射器发出一道激光，整个装置向右移动速度为[math]\displaystyle{ v }[/math]。

那么我们可以得到激光出程开始直到抵达镜面的时间[math]\displaystyle{ \Delta t_1 = \frac{L}{c - v} }[/math]。

在此期间，整个装置向前移动了[math]\displaystyle{ v\Delta t_1 = \frac{Lv}{c-v} }[/math]，

第二阶段，激光被反射，回到正在前进的装置左端，接收的时间花费了时间[math]\displaystyle{ \Delta t_2 = \frac{L}{c + v} }[/math]

两段总时间为[math]\displaystyle{ \Delta t' = \Delta t_1 + \Delta t_2 = \frac{2cL}{c^2 - v^2} = \frac{2L}{c\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)} }[/math]。

结合可知[math]\displaystyle{ \frac{\Delta t'}{\Delta t} = \frac{L}{L_0\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} }[/math]。

这样我们解得[math]\displaystyle{ L = L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} }[/math]。

这说明，在大地系的人的眼中，这个运动的装置长度缩短了。

闵氏时空

闵氏时空是爱因斯坦的数学老师闵可夫斯基创造的时空坐标系，从数学的角度极大的简化了狭义相对论的物理过程。

首先，闵可夫斯基建立了一个平面之间坐标系，横轴是空间轴，又叫[math]\displaystyle{ x }[/math]轴，纵轴是时间轴，又叫[math]\displaystyle{ ct }[/math]轴,通常只写作[math]\displaystyle{ t }[/math]，之所以在时间上乘以一个光速，为的是让以光速运动的物体在坐标轴中的轨迹始终是象限的角平分线（或者说，在狭义相对论中，我们规定光速[math]\displaystyle{ c = 1 }[/math]，这样可以简化很多问题的计算）。

值得注意的是，由于狭义相对论只是对速度的问题作了讨论，因此不考虑加速问题，所以闵氏时空和狭义相对论的时空必须一致，即都是平直的，也都只能研究匀速运动的问题。

闵氏时空

在一个参考系相对于另一个参考系匀速运动时，它会发生收缩，即洛伦兹变换，那么对应着闵氏时空，这个参考系的坐标系也会相应的收缩，就像图中所示的坐标系[math]\displaystyle{ x'Oct' }[/math]。

我们把一个物体上发生物理过程用一条曲线或直线来表示，这条线被称作这个物体的世界线。

最值得一提的是，在闵氏时空中，规定：两点之间直线最长，因为闵氏时空的距离公式为[math]\displaystyle{ d = \sqrt{\left|\left(t_1-t_2\right)^2 - \left(x_1-x_2\right)^2\right|} }[/math]，一般情况下，我们把一个事件的开始点设在原点处，所以距离公式一般简写作[math]\displaystyle{ d = \sqrt{\left|t^2-x^2\right|} }[/math]

所以不难发现，等长线段必须要通过双曲线才能在图上直观比较出距离的大小。

物理上把这四支双曲线称之为闵氏时空的校准曲线。

因为闵氏时空下的距离公式中根号下带绝对值，所以不难推得，当[math]\displaystyle{ d = \sqrt{t^2-x^2} }[/math]时，这个物理过程更靠近时间轴，所以对于这种情况，称之为类时的；而当[math]\displaystyle{ d = \sqrt{x^2-t^2} }[/math]时，称这个物理过程为类空的。

值得注意的是，类时时空由于比光的世界线更靠近时间轴，所以在原点一个物体可以用一段连续曲线所表示的物理过程来到达位于类时时空中的点（可以称之为一个事件），即速度小于光速；反之，类空时空中的速度由于超越了光速，所以这个物体是没有办法自己到达这个点的，不过随着时间的推移，类空时空会因为空间轴在时间上平移而变为类时时空，但这个物体所观测到这个事件时，这个事件已经发生过一段时间了。

光的世界线就是类时和类空的临界，因为类时时空很像沙漏，所以类时时空就是大名鼎鼎的“时光锥”，在锥内的事件是人们可控的，锥外的则不是。

显然，发明这个时空坐标系是有很大用处的，我们看图：根据校准曲线，我们可以看到[math]\displaystyle{ OA }[/math]比[math]\displaystyle{ OB }[/math]更长，而同作为描述时间长度的线段，我们便可以知道，运动的参考系比静止的参考系时间走得更慢一些，这就是钟慢效应的几何解释。同理，我们可以看到尺缩效应在这张图上被完美诠释了。