初中数学中的基本事实

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初中数学的几何（当然是欧几里得几何），为了解题方便实际上是不会（能）证明，从而在教科书中规定了比欧几里得在《几何原本》中规定的5条公设（Αἰτήματα ε΄.）更多的所谓“基本事实”。

因此，本文将列出这些基本事实，并对5条公设以外的基本事实逐个去批判证明。

《几何原本》中的公设与公理

《几何原本》中有“公设”与“公理”之分，而近代数学对此不再区分，都称“公理”。

公设

这5条公设是：

# 从一点向另一点可以引一条直线。

1. 任意线段能无限延伸成一条直线。
2. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
3. 所有直角都相等。
4. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

在徐光启、利玛窦所译的版本中，公设被称作“求作”。求作者，不可言不得作。

一、自此㸃至彼㸃求作一直線。
二、一有界直線，求從彼界直行引長之。
三、不論大小，以㸃為心求作一圜。
四、直角俱相等。
五、有二横直線，或正、或偏，任加一縱線，若三線之間同方，兩角小於兩直角，則此二横直線愈長、愈相近，必至相遇。

^{[取自《几何原本》卷一]}

欧几里得的古希腊语原文为目害警告：

α΄. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν.
γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.

^{[取自Στοιχεῖα α΄]}

美国克拉克大学的的在线英文版：

1. To draw a straight line from any point to any point.
2. To produce a finite straight line continuously in a straight line.
3. To describe a circle with any center and radius.
4. That all right angles equal one another.
5. That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.

啊。“7976？”我在问你，信是从哪里写的。
b。有限的人把它看作一条直线。
C。以及你写的每个中心和空间圈。
D级你的每个角落都是一样的。
嘿。如果我看到两个直箭射入，两个尖头套索的两个尖头角部分重合，第7939部分是两条鲑鱼。

此后，第5条公设逐渐被普勒菲尔公理代替：“过平面上已知直线外的一点，最多只能作一直线与该已知直线平行。”，并被各教科书所采用。

公理

这5条公理是：

#与同一事物相等的事物相等。

1. 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
2. 相等的事物减去相等的事物仍然相等。
3. 一个事物与另一事物重合，则它们相等。
4. 整体大于局部。

在徐光启、利玛窦所译的版本中，公理被称作“公論”。公論者，不可疑。

一、設有多度，彼此俱與他等，則彼與此自相等。
二、有多度等，若所加之度等，則合并之度亦等。
三、有多度等，若所減之度等，則所存之度亦等。
四、有二度自相合，則二度必等。
五、全，大於其分。

^{[取自《几何原本》卷一]}

欧几里得的古希腊语原文为我也不知道为什么有9条：

α΄. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
β΄. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
γ΄. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
δ΄. [Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.
ε΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
ϛ΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.]
ζ΄. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ' ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
η΄. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].
θ΄. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.

^{[取自Στοιχεῖα α΄]}

美国克拉克大学的的在线英文版：

1. Things which equal the same thing also equal one another.
2. If equals are added to equals, then the wholes are equal.
3. If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal.
4. Things which coincide with one another equal one another.
5. The whole is greater than the part.

啊。我做到了，我做到了。
b。如果你加上这个，就是这样。
C。甚至可能是一个章节，那是给你的。
D。你又加了一句，我又加了一句。
嘿。是你的两倍。
对。你就是这样做的。
g。药剂师是另一种人。
或以及居民的一部分。
D级两个是不满足的。

初中教科书中的基本事实

苏科版

1. 两点确定一条直线.（七年级上册 6.1）
2. 两点之间线段最短.（七年级上册 6.1）
3. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.（七年级上册 6.4）
4. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（七年级上册 6.5）
5. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，两直线平行.
   简单说成：同位角相等，两直线平行.（七年级下册 7.1）
6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS”）.（八年级上册 1.3）
7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“角边角”或“ASA”）.（八年级上册 1.3）
8. 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.（八年级上册 1.3）
9. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（九年级下册 6.4）实际上可以证明

让我们来批判证明这些基本事实

苏科版

1.两点确定一条直线.

这是欧几里得他老人家的原话，所以我们可以放一放，没什么大问题。

2.两点之间线段最短.

这个“基本事实”可能乍一看没什么问题，但实际上你会发现欧几里得并没有提到这一事实。但更可能的是他不会证。

这个命题可以使用变分法来证明。然而证明过程并不能轻易看懂所以就不放在这里了。

有了两点之间线段最短，我们进而可以证出“垂线段最短”和三角形三边关系定理。

3.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

这是著名的“平行公设”的通俗说法，其实就是几何原本的第五公设。其实不大一样，但我们感性理解一下就好了。你可以发现这个第五公设极其的罗里吧嗦，以至于千百年来的数学家都认为这玩意不应该是个公设，并尝试用前四条公设来证明它。

哦，最后是一个意大利数学家证明了这玩意并不能由前四个公设证出来。

不过因为大家都忙着证明第五公设，所以反而有一些数学家推翻了平行公设建立了非欧几何。比如在球面上，在双曲面上，这个公设都有不同的表述。

平行公设告诉我们三角形内角和是[math]\displaystyle{ 180° }[/math]。不过有意思的是，在刚刚提到的非欧几何中，三角形内角和不一定是[math]\displaystyle{ 180° }[/math]。你可以在地球仪上随便画一画。

4.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

上一条好歹有个名字，这一条是什么牛马。

我们可以尝试使用反证法。

由于这个命题是由“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”和“过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”合并而成的，所以我们也得逐个击破。