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代微积拾级

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代微积拾级
作者
伟烈亚力口译
李善兰笔述
伊莱亚斯·罗密士原著
出版时间
1859，清咸丰九年（己未）
1851（原著）
出版社
墨海书馆
“

米利堅羅密士譔，英國偉烈亞力口譯，海寧李善蘭筆述。

”
——《代微積拾級》

《代微积拾（shè）级》，由英国汉学家、来华传教士伟烈亚力（Alexander Wylie，1815年4月6日－1887年2月10日）口译，清代数学家李善兰（1811年1月22日－1882年12月9日）笔述；1859年由上海墨海书馆（The London Missionary Society Press）出版。原著为美国数学家伊莱亚斯·罗密士（Elias Loomis，1811年8月7日－1889年8月15日）于1851年出版的《解析几何和微积分初步》（Elements of Analytical Geometry and of The Differential and Integral Calculus）。

据考证，李善兰翻译所用的底本，应为1852年再版的版本，而非1851年的初版（内容差别较大）。原著在1874年改版，在此之前有不下20个版次（包括1856年的第6版、1859年的第10版、1864年的第17版、1868年的第19版等），畅销程度可见一斑。

1872年（明治5年），这本书被福田半译至日文，但书中并未使用李善兰创立的对应符号系统（参见#符号），而是使用原著的符号。

需要注意的是，这本书中的定义以今天的眼光来看并不严谨。一方面，当时的微积分学基础并不牢固，(ε, δ)-极限定义还未出现，书中仍然只使用未严格定义的无穷小量来定义概念；另一方面，这本书本身就是入门教材，不应过于晦涩难懂。

  • 代（解析几何）

    代（解析几何）

  • 微（微分）

    微（微分）

  • 积（积分）

    积（积分）

作者

李善蘭，字壬叔，海寧人。諸生。從陳奐受經，於算術好之獨深。十歲即通九章，後得測圓海鏡、句股割圜記，學益進。疑割圜法非自然，精思得其理。嘗謂道有一貫，藝亦然。測圓海鏡每題皆有法有草，法者，本題之法也；草者，用立天元一曲折以求本題之法，乃造法之法，法之源也。算術大至躔離交食，細至米鹽瑣碎，其法至繁，以立天元一演之，莫不能得其法。故立天元一者，算學中之一貫也。並時明算如錢塘戴煦，南匯張文虎，烏程徐有壬、汪曰楨，歸安張福僖，皆相友善。咸豐初，客上海，識英吉利偉烈亞力、艾約瑟、韋廉臣三人，偉烈亞力精天算，通華言。善蘭以歐幾里幾何原本十三卷、續二卷，明時譯得六卷，因與偉烈亞力同譯後九卷，西士精通幾何者尟，其第十卷尤玄奧，未易解，譌奪甚多，善蘭筆受時，輒以意匡補。譯成，偉烈亞力歎曰：「西士他日欲得善本，當求諸中國也！」

偉烈亞力又言美國天算名家羅密士嘗取代數、微分、積分合為一書，分款設題，較若列眉，復與善蘭同譯之，名曰代微積拾級十八卷。代數變天元、四元，別為新法，微分、積分二術，又藉徑於代數，實中土未有之奇秘。善蘭隨體剖析自然，得力於海鏡為多。

粵匪陷吳、越，依曾國籓軍中。同治七年，用巡撫郭嵩燾薦，徵入同文館，充算學總教習、總理衙門章京，授戶部郎中、三品卿銜。課同文館生以海鏡，而以代數演之，合中、西為一法，成就甚眾。光緒十年，卒於官，年垂七十。

善蘭聰彊絕人，其於算，能執理之至簡，馭數至繁，故衍之無不可通之數，抉之即無不可窮之理。所著則古昔齋算學，詳藝文志。世謂梅文鼎悟借根之出天元，善蘭能變四元而為代數，蓋梅氏後一人云。

[取自《清史稿·列傳二百九十四·疇人二》]

影印本

符号

字母

符号表，注意希腊字母Ρ与Μ对应颠倒

在书中，小写拉丁字母以天干（10个）、地支（12个）和物（w）、天（x）、地（y）、人（z）对应；小写希腊字母以二十八宿的前24个对应。大写字母将小写字母对应的汉字左侧加上“口”来表示，即使加上口字旁的字已存在，也按照小写的读音来读（例如小写的v对应“亥”，那么大写的V对应的“咳”也读作hài）。另外还有一些专用的符号单独对应。

符号对照表
A 呷（jiǎ） a 甲 Α 唃（jiǎo） α 角（jiǎo） F 㖤（hán）
B 𠮙（yǐ） b 乙 Β 吭（kàng） β 亢（kàng） f 函
C 𠰳（bǐng） c 丙 Γ 呧（dǐ） γ 氐（dǐ） ϕ 𭡝（hán）
D 叮 d 丁 Δ δ 房 ψ 涵
E 𱒐（wù） e 戊 Ε 吣（xīn） M 根
F 𠯇（jǐ） f 己 Ζ 𠳿（wěi） ζ 尾 π 周[表注 1]
G 𱓒（gēng） g 庚 Η 𱕍（jī） η 箕（jī） ε 訥（nè）（讷）[表注 2]
H 㖕（xīn） h 辛 Θ 呌（dǒu） θ 斗（dǒu） d 彳（wēi）[表注 3]
I 𠰃（rén） i 壬 Ι 吽（níu） ι 牛 ∫ 禾（jī）[表注 4]
J 𱓩（guǐ） j 癸 Κ 𠯆（nǚ） κ 女
K 吇（zǐ） k 子 Λ 嘘（xū） λ 虛
L 吜（choǔ） l 丑 Μ 𠱓（wēi）[表注 5] μ 危
M 𠻤（yín） m 寅 Ν 㗌（shì） ν 室
N 𠰭（mǎo） n 卯 Ξ ξ 壁
O 㖘（chén） o 辰 Ο 喹（kuí） ο 奎
P 𱒄（sì） p 巳 Π 嘍（lóu）（喽）
Q 吘（wǔ） q 午 Ρ 喟（wèi）[表注 6] ρ 胃
R 味 r 未 Σ 𭈾（mǎo） σ 昴（mǎo）
S 呻 s 申 Τ 嗶（bì）（哔） τ 畢（毕）
T 唒（yǒu） t 酉 Υ 嘴（zī） υ 觜（zī）
U 㖅（xù） u 戌 Φ 嘇（shēn）（𰇼）
V 咳（hài） v 亥 Χ 𠯤（jǐn） χ 井
W 𭈘（wù） w 物 Ψ 𠺌（guǐ）
X 𱒆（tiān） x 天 Ω ω 柳
Y 哋（dì） y 地
Z 㕥（rén） z 人

运算符及其他引进符号

LaTeX HTML 说明
[math]\displaystyle{ \bot }[/math][表注 7] ⊥[表注 8] 正也，加也[表注 9]
[math]\displaystyle{ \top }[/math][表注 10] ⊤[表注 11] 負也，減也[表注 12]
[math]\displaystyle{ \times }[/math][表注 13] ×[表注 14] 相乘也
[math]\displaystyle{ \div }[/math][表注 15] ÷[表注 16] 約也，或作[math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ :::: }[/math] :::: 四率比例也
[math]\displaystyle{ () }[/math] () 括諸數為一數也，名曰括弧
[math]\displaystyle{ \sqrt{} }[/math][表注 17] √ 開方根也
[math]\displaystyle{ = }[/math] = 等於[表注 18]
[math]\displaystyle{ \lt }[/math] < 右大於左
[math]\displaystyle{ \gt }[/math] > 左大於右
[math]\displaystyle{ 0 }[/math] 0 無也
[math]\displaystyle{ \infty }[/math][表注 19] ∞ 無窮也

注释

  1. ↑ 指圆周率。
  2. ↑ 指自然常数，疑似应为e。
  3. ↑ 音同“微”，指微分号。
  4. ↑ 音同“积”，指积分号。
  5. ↑ 书中表格与Ρ颠倒。
  6. ↑ 书中表格与Μ颠倒。
  7. ↑ \bot
  8. ↑ U+22A5，&bottom;&bot;&perp;&UpTee;&#8869;
  9. ↑ 此处并非垂直符号[math]\displaystyle{ \perp }[/math]（\perp）或⟂（U+27C2，&#10178;）。不使用加号+（U+002B，&#plus;&#43;）是因为易与汉字数字“十”混淆。此为“上”的古字（丄，U+4E04，&#19972;）。
  10. ↑ \top
  11. ↑ U+22A4，&top;&DownTee;&#8868;
  12. ↑ 不使用减号−（U+2212，&minus;&#8722;）或连字暨减号-（U+002D，&#45;）是因为易与汉字数字“一”混淆。此为“下”的古字（丅，U+4E05，&#19973; ）。
  13. ↑ \times
  14. ↑ U+00D7，&times;&#215;
  15. ↑ \div
  16. ↑ U+00F7，&divide;&#247;
  17. ↑ \sqrt{}
  18. ↑ 与原符号不同，书中为防止与汉字数字“二”混淆而被拉长。
  19. ↑ \infty

术语

书中新创了大量术语，其中有很多沿用至今。

函数

在卷十的开头，可以看到那句经典名句：

微分之數有二，一曰常數，一曰變數；變數以天地人物等字代之，常數以甲乙子丑等字代之。

凡式中常數之同數俱不變。如直線之式爲[math]\displaystyle{ 地\xlongequal{\qquad}甲天\bot乙 }[/math]，則線之甲與乙，俱僅有一同數任在何點永不變，而天與地之同數則每點皆變也。

凡此變數中函彼變數，則此爲彼之函數。

如直線之式爲[math]\displaystyle{ 地\xlongequal{\qquad}甲天\bot乙 }[/math]，則地爲天之函數；又平圜之式爲[math]\displaystyle{ 地\xlongequal{\qquad}\sqrt{味^二\top甲^二} }[/math]，味爲半徑，天爲正弦，地爲餘弦；橢圓之式爲[math]\displaystyle{ 地\xlongequal{\qquad} }[/math]呷/𠮙[math]\displaystyle{ \sqrt{二呷天\top天^二} }[/math]，皆地爲天之函數也。

設不明顯天之函數，但指地爲天之因變數，則如下式[math]\displaystyle{ 天\xlongequal{\qquad}函(地) \ 地\xlongequal{\qquad}函(天) }[/math]，此天爲地之函數，亦地爲天之函數。

[取自《代微積拾級·卷十 微分一·例》]

原文如下：

Elements of Analytical Geometry and of The Differential and Integral Calculus, Differential Calculus, Section I, Definitions and First Principles

[取自{{{2}}}]

“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”（One variable is said to be a function of another variable, when the first is equal to a certain algebraic expression containing the second.）这句话，往往被讹传为出现在李善兰另一译作《代数学》中，其实并非如此，出处就是《代微积拾级》。

微分

同样是卷十，可以看到微分的定义：

函數與變數之變比例俱謂之微分，用彳號記之。如 [math]\displaystyle{ 戌\xlongequal{\qquad}天^三 }[/math]，則得比例 𢓍 : [math]\displaystyle{ :: 一 : 三天^二 }[/math]。𢓍，爲天與戌之微分。后皆仿此，用表天與戌之變比例。以一四兩率相乘，二三兩率相乘，則得[math]\displaystyle{ \xlongequal{\qquad}三天^二 }[/math]𢓍。此顯函數戌之變比例，等于 三天二 乘變數天之變比例。以𢓍約之，得𢓍/[math]\displaystyle{ \xlongequal{\qquad}三天^二 }[/math]。此顯變數之變比例，約函數之變比例，等于函數之微係數也。如戌爲天之函數，三天 爲戌之微係數，此舉立方以㮣其餘。

[取自《代微積拾級·卷十 微分一·論函數微分·第二款》]

原文如下：

Elements of Analytical Geometry and of The Differential and Integral Calculus, Differential Calculus, Section I, Differentiation of Algebraic Functions, Proposition II － Theorem

[取自{{{2}}}]
注意，时至今日，微分号为了与量区别而记作[math]\displaystyle{ \mathrm{d} }[/math]，书中的微分号仍然是斜体[math]\displaystyle{ d }[/math]。

书中所称“Differential Coefficient”，译作“微系数”，今天称作导数（Derivative）。无论是中英文，这种古老的说法都已很罕见。

积分

在卷十七，定义了积分：

積分爲微分之還原，其法之要，在識別微分所由生之函數。如已得 天二 之微分爲 二天𢓍，則有 二天𢓍，即知所由生之函數爲 天二，而 天二 即爲積分。

已得微分所由生之函數爲積分。而積分或有常數附之，或無常數附之，既不能定，故式中恒附以常數，命爲𠰳。𠰳或有同數，或爲〇，須攷題乃知。

來本之視微分，若函數諸小較之一，諸小較并之，即成函數。故微分之左係一禾字，指欲取諸微分之積分也。如下式 禾二天𢓍[math]\displaystyle{ \xlongequal{\qquad} 天^二 \bot }[/math]𠰳。來氏說今西國天算家大率不用，而惟用此禾字，取其一覽了然也。

[取自《代微積拾級·卷十七 積分一·總論》]

原文如下：

Elements of Analytical Geometry and of The Differential and Integral Calculus, Integral Calculus, Section I, Integration of Monomial Differentials

[取自{{{2}}}]

实际上，书中的积分号仅仅写作∫，没有写得像今天的[math]\displaystyle{ \int }[/math]那么长。

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