代微积拾级

“

米利堅羅密士譔，英國偉烈亞力口譯，海寧李善蘭筆述。

”

——《代微積拾級》

《代微积拾（shè）级》，由英国汉学家、来华传教士伟烈亚力（Alexander Wylie，1815年4月6日－1887年2月10日）口译，清代数学家李善兰（1811年1月22日－1882年12月9日）笔述；1859年由上海墨海书馆（The London Missionary Society Press）出版。原著为美国数学家伊莱亚斯·罗密士（Elias Loomis，1811年8月7日－1889年8月15日）于1851年出版的《解析几何和微积分初步》（Elements of Analytical Geometry and of The Differential and Integral Calculus）。

• 代（解析几何）

  代（解析几何）

• 微（微分）

  微（微分）

• 积（积分）

  积（积分）

作者

李善蘭，字壬叔，海寧人。諸生。從陳奐受經，於算術好之獨深。十歲即通九章，後得測圓海鏡、句股割圜記，學益進。疑割圜法非自然，精思得其理。嘗謂道有一貫，藝亦然。測圓海鏡每題皆有法有草，法者，本題之法也；草者，用立天元一曲折以求本題之法，乃造法之法，法之源也。算術大至躔離交食，細至米鹽瑣碎，其法至繁，以立天元一演之，莫不能得其法。故立天元一者，算學中之一貫也。並時明算如錢塘戴煦，南匯張文虎，烏程徐有壬、汪曰楨，歸安張福僖，皆相友善。咸豐初，客上海，識英吉利偉烈亞力、艾約瑟、韋廉臣三人，偉烈亞力精天算，通華言。善蘭以歐幾里幾何原本十三卷、續二卷，明時譯得六卷，因與偉烈亞力同譯後九卷，西士精通幾何者尟，其第十卷尤玄奧，未易解，譌奪甚多，善蘭筆受時，輒以意匡補。譯成，偉烈亞力歎曰：「西士他日欲得善本，當求諸中國也！」

偉烈亞力又言美國天算名家羅密士嘗取代數、微分、積分合為一書，分款設題，較若列眉，復與善蘭同譯之，名曰代微積拾級十八卷。代數變天元、四元，別為新法，微分、積分二術，又藉徑於代數，實中土未有之奇秘。善蘭隨體剖析自然，得力於海鏡為多。

粵匪陷吳、越，依曾國籓軍中。同治七年，用巡撫郭嵩燾薦，徵入同文館，充算學總教習、總理衙門章京，授戶部郎中、三品卿銜。課同文館生以海鏡，而以代數演之，合中、西為一法，成就甚眾。光緒十年，卒於官，年垂七十。

善蘭聰彊絕人，其於算，能執理之至簡，馭數至繁，故衍之無不可通之數，抉之即無不可窮之理。所著則古昔齋算學，詳藝文志。世謂梅文鼎悟借根之出天元，善蘭能變四元而為代數，蓋梅氏後一人云。

^{[取自《清史稿·列傳二百九十四·疇人二》]}

符号

文件:Symbol Table.jpg

符号表，注意希腊字母Ρ与Μ对应颠倒

在书中，小写拉丁字母以天干（10个）、地支（12个）和物（w）、天（x）、地（y）、人（z）对应；小写希腊字母以二十八宿的前24个对应。大写字母将小写字母对应的汉字左侧加上“口”来表示。另外还有一些专用的符号单独对应。

符号对照表

A	呷	a	甲	Α	唃	α	角（jiǎo）	F	㖤
B	𠮙	b	乙	Β	吭	β	亢	f	函
C	𠰳	c	丙	Γ	呧	γ	氐（dǐ）	ϕ	𭡝
D	叮	d	丁	Δ	⿰口房	δ	房	ψ	涵
E	𱒐	e	戊	Ε	吣			M	根
F	𠯇	f	己	Ζ	𠳿	ζ	尾	π	周
G	𱓒	g	庚	Η	𱕍	η	箕	ε	訥
H	㖕	h	辛	Θ	呌	θ	斗（dǒu）	d	彳（wēi）
I	𠰃	i	壬	Ι	吽	ι	牛	∫	禾（jī）
J	𱓩	j	癸	Κ	𠯆	κ	女
K	吇	k	子	Λ	嘘	λ	虛
L	吜	l	丑	Μ	𠱓	μ	危
M	𠻤	m	寅	Ν	㗌	ν	室
N	𠰭	n	卯	Ξ	⿰口壁	ξ	壁
O	㖘	o	辰	Ο	喹	ο	奎
P	𱒄	p	巳	Π	嘍
Q	吘	q	午	Ρ	喟	ρ	胃
R	味	r	未	Σ	𭈾	σ	昴（mǎo）
S	呻	s	申	Τ	嗶	τ	畢
T	唒	t	酉	Υ	嘴	υ	觜（zī）
U	㖅	u	戌	Φ	嘇
V	咳	v	亥	Χ	𠯤
W	𭈘	w	物	Ψ	𠺌
X	𱒆	x	天	Ω	⿰口柳	ω	柳
Y	哋	y	地
Z	㕥	z	人

术语

Abbreviated expression	簡式
Abscissa	橫線
Acute angle	銳角
Add	加
Addition	加法
Adjacent angle	旁角
Algebra	代數學
Algebra curve	代數曲線
Altitude	高，股，中垂線
Anomaly	奇式
Answer	答
Antecedent	前率（shuài）
Approximation	迷率
Arc	弧
Area	面積
Arithmetic	數學
Asymptote	漸近線
Axiom	公論
Axis	軸，軸線
Axis major	長徑，長軸
Axis minor	短徑，短軸
Axis of abscissas	橫軸
Axis of coordinates	總橫軸
Axis of ordinate	縱軸
Base	底，勾
Binominal	二項式
Binomial theorem	合名法
Biquadratic parabola	三乘方拋物線
Bisect	平分
Brackets	括弧
Center of an ellipse	中點
Chord	通弦
Circle	平圜
Circular expression	圜式
Circumference	周
Circumsoribed	外切
Coefficient	係數
Common algebra expression	代數常式
Coincide	合
Commensurable	有等數
Common	公
Complement	餘
Complementary angle	餘角
Concave	凹
Concentric	同心
Cone	圓錐
Conjugate axis	相屬軸
Conjugate diameter	相屬徑
Conjugate hyperbola	相屬雙曲線
Consequent	後率
Constant	常數
Construct	做圖
Contact	切
Converging series	斂級數
Convex	凸
Coordinates	總橫線
Corollary	系
Cosecant	餘割
Cosine	餘弦
Cotangent	餘切
Coversedsine	餘矢
Cube	立方
Cube root	立方根
Cubical parabola	立方根拋物線
Curvature	曲率
Curve	曲線
Cusp	歧點
Cycloid	擺線
Cylinder	圜柱
Decagon	十邊形
Decrease	損
Decreasing function	損函數
Definition	界說
Degree of an expression	次
Degree of angular measurement	度
Denominator	分母，母數
Dependent variable	因變數
Diagonal	對角線
Diameter	徑
Difference	較
Differential	微分
Differential calculus	微分學
Differential coefficient	微係數
Differentiate	求微分
Direction	方向
Directrix	準線
Distance	距線
Diverging lines	漸遠線
Diverging series	發級數
Divide	約
Dividend	實
Division (absolute)	約法
Division (concrete)	除法
Divisor	法
Dodecahedron	十二面體
Duplicate	倍比例
Edge of polyhedron	稜
Ellipse	橢圓
Equal	等
Equation	方程式
Equation of condition	偶方程式
Equiangular	等角
Equilateral	等邊
Equimultiple	等倍數
Evolute	漸申線
Evolution	開方
Expand	詳
Expansion	詳式
Explicit function	陽函數
Exponent	指數
Expression	式
Extreme and mean ratio	中末比例
Extremes of a proportion	首尾二率
Face	面
Factor	乘數
Figure	行、圖
Focus of a conic section	心
Formula	法
Fourth proportional	四率
Fraction	分
Fractional expression	分式
Frustum	截圜錐
Function	函數
General expression	公式
Generate	生
Generating circle	母輪
Generating point	母點
Geometry	幾何學
Given ratio	定率
Great circle	大圈
Greater	大
Hemisphere	半球
Hendecagon	十一邊形
Heptagon	七邊形
Hexagon	六邊形
Hexahedron	六面體
Homogeneous	同類
Homologous	相當
Hypoerbola	雙曲線，雙線
Hyperbolic spiral	雙線螺旋
Hypotheneuse	弦
Icosahedron	二十面體
Implicit function	陰函數
Impossible expression	不能式
Inclination	倚度
Incommensurable	無等數
Increase	增
Increasing function	增函數
Increment	長數
Indefinite	無定
Independent variable	自變數
Indeterminate	未定
Infinite	無窮
Inscribed	內切，所容
Integral	積分
Integral calculus	積分學
Integrate	求積分
Interior	裏
Intersect	交
Intersect at right angles	正交
Inverse circular expression	反圜式
Inverse proportion	反比例
Irrational	無比例
Isolated point	特點
Isosceles triangle	二等邊三角形
Join	聯
Known	已知
Law of continuity	漸變之理
Leg of an angle	夾角邊
Lemma	例
Length	長短
Less	小
Limits	限
Limited	有限
Line	線
Logarithm	對數
Logarithmic curve	對數曲線
Logarithmic spiral	對數螺線
Lowest term	最小率
Maximum	極大
Mean proportion	中率
Means	中二率
Measure	度
Meet	遇
Minimum	極小
Modulus	對數根
Monomial	一項式
Multinomial	多項式
Multiple	倍數
Multiple point	倍點
Multiplicand	實
Multiplication	乘法
Multiplier	法
Multiply	乘
Negative	負
Nonagon	九邊形
Normal	法線
Notation	命位，紀法
Number	數
Numerator	分子，子數
Oblique	斜
Obtuse	鈍
Octagon	八邊形
Octahedron	八面體
Opposite	對
Ordinate	縱線
Origin of coordinate	原點
Parabola	拋物線
Parallel	平行
Parallelogram	平行邊形
Parallelepiped	立方體
Parameter	通徑
Part	分，段
Partial differential	偏微分
Partial differential coefficient	偏微係數
Particular case	私式
Pentagon	五邊形
Perpendicular	垂線，股
Plane	平面
Point	點
Point of contact	切點
Point of inflection	彎點
Point of intersection	交點
Polar curve	極曲線
Polar distance	極距
Pole	極
Polygon	多邊形
Polyhedron	多面體
Polynomial	多項式
Positive	正
Postulate	求
Power	方
Primitive axis	舊軸
Problem	題
Produce	引長
Product	得數
Proportion	比例
Proposition	款
Quadrant	象限
Quadrilateral figure	四邊形
Quadrinomial	四項式
Quam proxime	任近
Quantity	幾何
Question	問
Quindecagon	十五邊形
Quotient	得數
Radius	半徑
Radius vector	帶徑
Ratio	率
Rational expression	有比例式
Reciprocal	交互
Rectangle	矩形
Rectangular	正
Reduce	化
Reduce to a simple form	相消
Regular	正
Relation	連屬之理
Represent	顯
Reverse	相反
Revolution	匝
Right angle	直角
Right-angled triangle	勾股形
Round	圜
Root	根
Root of equation	滅數
Scalene triangle	不等邊三角形
Scholium	案
Secant	割線
Secant (trigonometrical)	正割
Segment	截段
Semicircle	半圜周
Semicubical parabola	半立方拋物線
Semibiquadratic parabola	半三乘方拋物線
Series	級數
Sextant	記限
Side	邊
Sign	號
Similar	相似
Sine	正弦
Singular point	獨異點
Smaller	少
Solid	體
Solidity	體積
Sphere	立圜體，球
Spiral	螺線
Spiral of archimedes	亞奇默德螺線
Square	方，正方，冪
Square root	平方根
Straight line	直線
Subnormal	次法線
Subtangent	次切線
Subtract	減
Subtraction	減法
Sum	和
Supplement	外角
Supplementary chord	餘通弦
Surface	面
Surface of revolution	曲面積
Symbol of quantity	元
Table	表
Tangent	切線
Tangent (trigonometrical)	正切
Term of an expression	項
Term of ratio	率
Tetrahedron	四面體
Theorem	術
Total differential	全微分
Transcendental curve	越曲線
Transcendental expression	越式
Transcendental function	越函數
Transform	易
Transverse axis	橫軸，橫徑
Trapezoid	二平行邊四邊形
Triangle	三角形
Trident	三齒線
Trigonometry	三角法
Trinomial	三項式
Triplicate	三倍
Trisection	三等分
Unequal	不等
Unit	一
Unknown	未知
Unlimited	無線
Value	同數
Variable	變數
Variation	變
Verification	證
Versedsine	正矢
Vertex	頂點
Vertical plane	縱面

函数

在卷十的开头，可以看到那句经典名句：

微分之數有二，一曰常數，一曰變數；變數以天地人物等字代之，常數以甲乙子丑等字代之。

凡式中常數之同數俱不變。如直線之式爲[math]\displaystyle{ 地=甲天\bot乙 }[/math]，則線之甲與乙，俱僅有一同數任在何點永不變，而天與地之同數則每點皆變也。

凡此變數中函彼變數，則此爲彼之函數。

如直線之式爲[math]\displaystyle{ 地=甲天\bot乙 }[/math]，則地爲天之函數；又平圜之式爲[math]\displaystyle{ 地=\sqrt{味^二\top甲^二} }[/math]，味爲半徑，天爲正弦，地爲餘弦；橢圓之式爲[math]\displaystyle{ 地= }[/math]呷/𠮙[math]\displaystyle{ \sqrt{二呷天\top天^二} }[/math]，皆地爲天之函數也。

^{[取自《代微積拾級·卷十 微分一·例》]}

原文如下：

ARTICLE (157.) IN the Differential Calculus, as in Analytical Geometry, there are two classes of quantities to be considered, viz., variables and constants.

Variable quantities are generally represented by the last letters of the alphabet, x, y, z, etc., and any values may be assigned to them which will satisfy the equations into which they enter.

Constant quantities are generally represented by the firstletters of the alphabet, a, b, c, etc., and these always retain the same values throughout the same investigation.

Thus, in the equation of a straight line,
[math]\displaystyle{ y=ax+b }[/math],
the quantities a and b have but one value for the same line, while x and y vary in value for every point of the line.

(158.) One variable is said to be a function of another variable, when the first is equal to a certain algebraic expression containing the second. Thus, in the equation of a straight line
[math]\displaystyle{ y=ax+b }[/math],
y is a function of x.

So, also, in the equation of a circle,
[math]\displaystyle{ y=\sqrt{R^2-x^2} }[/math];
and in the equation of the ellipse,
[math]\displaystyle{ y=\frac{B}{A}\sqrt{2Ax-x^2} }[/math].

^{[取自Elements of Analytical Geometry and of The Differential and Integral Calculus, Differential Calculus, Section I]}

“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”（One variable is said to be a function of another variable, when the first is equal to a certain algebraic expression containing the second.）这句话，往往被讹传为出现在李善兰另一译作《代数学》中，其实并非如此，出处就是《代微积拾级》。