初中数学中的基本事实

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初中数学的几何当然是欧几里得几何，为了解题方便实际上是不会证明，从而在教科书中规定了比欧几里得在《几何原本》中规定的5条公设（Αἰτήματα ε΄.）更多的所谓“基本事实”。

因此，本文将列出这些基本事实，并对5条公设以外的基本事实逐个去批判证明。

《几何原本》中的公设

《几何原本》中有“公设”与“公理”之分，而近代数学对此不再区分，都称“公理”。

这5条公设是翻译瞎糊的将就看：

1. 从一点向另一点可以引一条直线。
2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4. 所有直角都相等。
5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

在徐光启、利玛窦所译的版本中，公设被称作“求作”。求作者，不可言不得作。

一、此點至彼點可作一線段。
二、線段可從彼界直行引長之。
三、線段作半徑，點為心，可作一圓。
四、直角皆等。
五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者，則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。

^{[取自《几何原本》卷一]}

而欧几里得的希腊文原文为目害警告：

α΄. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν.
γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.

^{[取自Στοιχεῖα α΄]}

初中教科书中的基本事实

苏科版

1. 两点确定一条直线.（七年级上册 6.1)
2. 两点之间线段最短.（七年级上册 6.1)
3. 过一点外只有一条直线与这条直线平行.（七年级上册 6.4)
4. 过一点外只有一条直线与这条直线垂直.（七年级上册 6.5)
5. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，两直线平行.
   简单说成:同位角相等，两直线平行.（七年级下册 7.1）
6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS”）.（八年级上册 1.3)
7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“角边角”或“ASA”）.（八年级上册 1.3)
8. 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.（八年级上册 1.3)
9. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（九年级下册 6.4）