# 过两点能作且只能作一直线。
- 直线可以向两端无限延伸。
- 以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。
- 凡直角都相等。
- 同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
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初中数学的几何(当然是欧几里得几何),为了解题方便{{Heimu|实际上是不会 |
初中数学的几何(当然是欧几里得几何),为了解题方便{{Heimu|实际上是不会证明}},从而在教科书中规定了比欧几里得在《几何原本》中规定的5条公设({{lang|el|Αἰτήματα ε΄.}},Postulate)更多的所谓'''“基本事实”'''。 |
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因此,本文将列出这些基本事实,并对5条公设以外的基本事实逐个去{{Heimu|批判}}证明。 |
因此,本文将列出这些基本事实,并对5条公设以外的基本事实逐个去{{Heimu|批判}}证明。 |
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{{Heimu|啊。“7976?”我在问你,信是从哪里写的。<br>b。有限的人把它看作一条直线。<br>C。以及你写的每个中心和空间圈。<br>D级你的每个角落都是一样的。<br>嘿。如果我看到两个直箭射入,两个尖头套索的两个尖头角部分重合,第7939部分是两条鲑鱼。}} |
{{Heimu|啊。“7976?”我在问你,信是从哪里写的。<br>b。有限的人把它看作一条直线。<br>C。以及你写的每个中心和空间圈。<br>D级你的每个角落都是一样的。<br>嘿。如果我看到两个直箭射入,两个尖头套索的两个尖头角部分重合,第7939部分是两条鲑鱼。}} |
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此后,第5条公设逐渐被普勒菲尔公理代替:“过平面上已知直线外的一点,最多只能作一直线与该已知直线平行。”,并被各教科书所采用。 |
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=== 公理 === |
=== 公理 === |
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# 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.(九年级下册 6.4){{Heimu|实际上可以证明}} |
# 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.(九年级下册 6.4){{Heimu|实际上可以证明}} |
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== 批判 == |
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=== 苏科版 === |
=== 苏科版 === |
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; 两点确定一条直线. |
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这是欧几里得他老人家的原话,所以我们可以放一放,没什么大问题。 |
这是欧几里得他老人家的原话,所以我们可以放一放,没什么大问题。 |
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; 两点之间线段最短. |
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这个“基本事实”可能乍一看没什么问题,但实际上你会发现欧几里得并没有提到这一事实。{{Heimu|但更可能的是他不会证。}} |
这个“基本事实”可能乍一看没什么问题,但实际上你会发现欧几里得并没有提到这一事实。{{Heimu|但更可能的是他不会证。}} |
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有了两点之间线段最短,我们进而可以证出“垂线段最短”和三角形三边关系定理。 |
有了两点之间线段最短,我们进而可以证出“垂线段最短”和三角形三边关系定理。 |
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; 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. |
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《几何原本》的数学优雅在于其简洁和清晰的品性,但是第五公设却定义含混,文字叙述冗长,而且也不那么显而易见。另外,在《几何原本》中直到第29个命题中才用到这条公设,以后也没有再使用过。这使得很多人认为这不应该是个公设。 |
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其实矛盾焦点集中于,在提出第五公设时,平面还未被定义。如果平面作定义为“满足第五公设的面定义为平面”,第五公设就是自明的。 |
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这是著名的“平行公设”的通俗说法,其实就是几何原本的第五公设。{{Heimu|其实不大一样,但我们感性理解一下就好了。}}你可以发现这个第五公设极其的罗里吧嗦,以至于千百年来的数学家都认为这玩意不应该是个公设,并尝试用前四条公设来证明它。 |
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此后,一代代数学家尝试用前四条公设证明平行公设,但都未获成功,反而却创造了违反平行公设的[[wzh:非欧几里得几何|非欧几何]](如[[wzh:双曲几何|双曲几何]]和[[wzh:黎曼几何|黎曼几何]])。最后由意大利数学家[[wzh:贝尔特拉米|埃乌杰尼欧·贝尔特拉米]](Eugenio Beltrami)证明了平行公设独立于前四条公设。 |
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哦,最后是一个意大利数学家证明了这玩意并不能由前四个公设证出来。 |
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如今,第5条公设大部分被[[wzh:普莱费尔公理|普莱费尔公理]](Playfair's axiom)所代替,并被各教科书所采用。这条“基本事实”也不例外。 |
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不过因为大家都忙着证明第五公设,所以反而有一些数学家推翻了平行公设建立了非欧几何。比如在球面上,在双曲面上,这个公设都有不同的表述。 |
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{{q|分别在同一个平面上的一条直线和一个点,任意画直线穿过该点,最多只能画出一条直线与原来已有的直线平行。<br>In a plane, given a line and a point not on it, at most one line parallel to the given line can be drawn through the point.|约翰·普莱费尔(John Playfair)<ref>{{cite|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI30.html|title=Euclid's Elements, Book I, Proposition 30|website=Euclid's Elements|author=David E. Joyce, Clark University|date=1996年}}</ref>}} |
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平行公设告诉我们三角形内角和是<math>180°</math>。不过有意思的是,在刚刚提到的非欧几何中,三角形内角和不一定是<math>180°</math>。你可以在地球仪上随便画一画。 |
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普莱费尔公理的优点在于,不需要第三条直线来证明平面上的两条直线是否是平行的,而是利用了反推的原则,来表述两条直线如果没有相交,既是平行。 |
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{{jk|上一条好歹有个名字,这一条是什么牛马。}} |
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我们可以尝试使用反证法。 |
我们可以尝试使用反证法。 |
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初中数学的几何(当然是欧几里得几何),为了解题方便实际上是不会证明,从而在教科书中规定了比欧几里得在《几何原本》中规定的5条公设(Αἰτήματα ε΄.,Postulate)更多的所谓“基本事实”。
因此,本文将列出这些基本事实,并对5条公设以外的基本事实逐个去批判证明。
《几何原本》中有“公设”与“公理”之分,而近代数学对此不再区分,都称“公理”。
这5条公设是:
# 过两点能作且只能作一直线。
在徐光启、利玛窦所译的版本中,公设被称作“求作”。[注 1]求作者,不可言不得作。
一、自此㸃至彼㸃求作一直線。
二、一有界直線,求從彼界直行引長之。
三、不論大小,以㸃為心求作一圜。
四、直角俱相等。
五、有二横直線,或正、或偏,任加一縱線,若三線之間同方,兩角小於兩直角,則此二横直線愈長、愈相近,必至相遇。
[取自《几何原本》卷一[1]]
欧几里得的古希腊语原文为目害警告:
α΄. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν.
γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.
[取自Στοιχεῖα α΄[2]]
这5条公理是:
# 等于同量的量彼此相等。
在徐光启、利玛窦所译的版本中,公理被称作“公論”。[注 1]公論者,不可疑。
一、設有多度,彼此俱與他等,則彼與此自相等。
二、有多度等,若所加之度等,則合并之度亦等。
三、有多度等,若所減之度等,則所存之度亦等。
四、有二度自相合,則二度必等。
五、全,大於其分。
[取自《几何原本》卷一[1]]
欧几里得的古希腊语原文为我也不知道为什么有9条:
α΄. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
β΄. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
γ΄. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
δ΄. [Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.
ε΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
ϛ΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.]
ζ΄. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ' ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
η΄. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].
θ΄. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.
[取自Στοιχεῖα α΄[2]]
这是欧几里得他老人家的原话,所以我们可以放一放,没什么大问题。
这个“基本事实”可能乍一看没什么问题,但实际上你会发现欧几里得并没有提到这一事实。但更可能的是他不会证。
这个命题可以使用变分法来证明。然而证明过程并不能轻易看懂所以就不放在这里了。
有了两点之间线段最短,我们进而可以证出“垂线段最短”和三角形三边关系定理。
《几何原本》的数学优雅在于其简洁和清晰的品性,但是第五公设却定义含混,文字叙述冗长,而且也不那么显而易见。另外,在《几何原本》中直到第29个命题中才用到这条公设,以后也没有再使用过。这使得很多人认为这不应该是个公设。
其实矛盾焦点集中于,在提出第五公设时,平面还未被定义。如果平面作定义为“满足第五公设的面定义为平面”,第五公设就是自明的。
此后,一代代数学家尝试用前四条公设证明平行公设,但都未获成功,反而却创造了违反平行公设的非欧几何(如双曲几何和黎曼几何)。最后由意大利数学家埃乌杰尼欧·贝尔特拉米(Eugenio Beltrami)证明了平行公设独立于前四条公设。
如今,第5条公设大部分被普莱费尔公理(Playfair's axiom)所代替,并被各教科书所采用。这条“基本事实”也不例外。
分别在同一个平面上的一条直线和一个点,任意画直线穿过该点,最多只能画出一条直线与原来已有的直线平行。
In a plane, given a line and a point not on it, at most one line parallel to the given line can be drawn through the point.
普莱费尔公理的优点在于,不需要第三条直线来证明平面上的两条直线是否是平行的,而是利用了反推的原则,来表述两条直线如果没有相交,既是平行。
我们可以尝试使用反证法。
由于这个命题是由“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”和“过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”合并而成的,所以我们也得逐个击破。
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