# 过两点能作且只能作一直线。
- 直线可以向两端无限延伸。
- 以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。
- 凡直角都相等。
- 同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
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#To draw a straight line from any point to any point. |
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#To produce a finite straight line continuously in a straight line. |
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#To describe a circle with any center and radius. |
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#That all right angles equal one another. |
# That all right angles equal one another. |
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#That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. |
# That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. |
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# 等于同量的量彼此相等。 |
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# 等量加等量,其和相等。 |
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# 等量减等量,其差相等。 |
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# 彼此能完全重合的物体是全等的。 |
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# 整体大于部分。 |
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#Things which equal the same thing also equal one another. |
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#If equals are added to equals, then the wholes are equal. |
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#If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal. |
# If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal. |
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#Things which coincide with one another equal one another. |
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#The whole is greater than the part. |
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初中数学的几何(当然是欧几里得几何),为了解题方便实际上是不会(能)证明,从而在教科书中规定了比欧几里得在《几何原本》中规定的5条公设(Αἰτήματα ε΄.)更多的所谓“基本事实”。
因此,本文将列出这些基本事实,并对5条公设以外的基本事实逐个去批判证明。
《几何原本》中有“公设”与“公理”之分,而近代数学对此不再区分,都称“公理”。
这5条公设是:
# 过两点能作且只能作一直线。
在徐光启、利玛窦所译的版本中,公设被称作“求作”。[注 1]求作者,不可言不得作。
一、自此㸃至彼㸃求作一直線。
二、一有界直線,求從彼界直行引長之。
三、不論大小,以㸃為心求作一圜。
四、直角俱相等。
五、有二横直線,或正、或偏,任加一縱線,若三線之間同方,兩角小於兩直角,則此二横直線愈長、愈相近,必至相遇。
[取自《几何原本》卷一[1]]
欧几里得的古希腊语原文为目害警告:
α΄. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν.
γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.
[取自Στοιχεῖα α΄[2]]
此后,第5条公设逐渐被普勒菲尔公理代替:“过平面上已知直线外的一点,最多只能作一直线与该已知直线平行。”,并被各教科书所采用。
这5条公理是:
# 等于同量的量彼此相等。
在徐光启、利玛窦所译的版本中,公理被称作“公論”。[注 1]公論者,不可疑。
一、設有多度,彼此俱與他等,則彼與此自相等。
二、有多度等,若所加之度等,則合并之度亦等。
三、有多度等,若所減之度等,則所存之度亦等。
四、有二度自相合,則二度必等。
五、全,大於其分。
[取自《几何原本》卷一[1]]
欧几里得的古希腊语原文为我也不知道为什么有9条:
α΄. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
β΄. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
γ΄. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
δ΄. [Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.
ε΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
ϛ΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.]
ζ΄. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ' ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
η΄. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].
θ΄. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.
[取自Στοιχεῖα α΄[2]]
1.两点确定一条直线.
这是欧几里得他老人家的原话,所以我们可以放一放,没什么大问题。
2.两点之间线段最短.
这个“基本事实”可能乍一看没什么问题,但实际上你会发现欧几里得并没有提到这一事实。但更可能的是他不会证。
这个命题可以使用变分法来证明。然而证明过程并不能轻易看懂所以就不放在这里了。
有了两点之间线段最短,我们进而可以证出“垂线段最短”和三角形三边关系定理。
3.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
这是著名的“平行公设”的通俗说法,其实就是几何原本的第五公设。其实不大一样,但我们感性理解一下就好了。你可以发现这个第五公设极其的罗里吧嗦,以至于千百年来的数学家都认为这玩意不应该是个公设,并尝试用前四条公设来证明它。
哦,最后是一个意大利数学家证明了这玩意并不能由前四个公设证出来。
不过因为大家都忙着证明第五公设,所以反而有一些数学家推翻了平行公设建立了非欧几何。比如在球面上,在双曲面上,这个公设都有不同的表述。
平行公设告诉我们三角形内角和是[math]\displaystyle{ 180° }[/math]。不过有意思的是,在刚刚提到的非欧几何中,三角形内角和不一定是[math]\displaystyle{ 180° }[/math]。你可以在地球仪上随便画一画。
4.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
上一条好歹有个名字,这一条是什么牛马。
我们可以尝试使用反证法。
由于这个命题是由“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”和“过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”合并而成的,所以我们也得逐个击破。
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