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高观点下的高中物理：修订间差异
来自奇葩栖息地
→阻尼振动
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第435行：
====== 阻尼振动 ======
对于简谐振动，我们有动力学方程<math>ma = -kx - \alpha v</math>
即<math>m\ddot{x} + \alpha \dot{x} + kx = 0</math>
不妨设<math>x = Ae^{\omega t}</math>
则<math>mA\omega^2e^{\omega t} + \beta\omega Ae^{\omega t} + kAe^{\omega t} = 0</math>
解得<math>\omega = \frac{-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-4mk}}{2k}</math>
令<math>\beta = \frac{\alpha}{2m},\omega_0 = \sqrt{\frac{m}{k}}</math>
则<math>\omega = -\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}</math>
下面对根进行讨论，当<math>\beta > \omega_0</math>，
则<math>x(t) = C_1e^{\omega_1 t} + C_2e^{\omega_2\ t}</math>
<math>v(t) = C_1\omega_1e^{\omega_1 t} + C_2\omega_2e^{\omega_2\ t}</math>
综合<math>x(0) = A_0,v(t) = 0</math>
解得<math>C_1=\frac{\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}A_0,C_2 = \frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}A_0</math>
所以<math>x(t) = \frac{\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}A_0\exp\left\{\left(-\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\right)t\right\} + \frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}A_0\exp\left\{\left(-\beta-\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\right)t\right\}</math>
可见此时，振动将不会发生，会直接衰减。
当<math>\beta = \omega_0</math>，
则<math>x(t) = Ae^{-\beta t}</math>
此时，振动仍不会发生，直接衰减。
当<math>\beta < \omega_0</math>，
记<math>\textup{i}\omega'=\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}</math>
则<math>x(t) = C_1e^{-\beta+\textup{i}\omega' t} + C_2e^{-\beta-\textup{i}\omega'\ t}=e^{-\beta t}\left(C_1e^{\textup{i}\omega' t} + C_2e^{-\textup{i}\omega'\ t}\right)</math>
<math>v(t) = e^{-\beta t}\left(\textup{i}\omega'C_1e^{\textup{i}\omega' t} -\textup{i}\omega'C_2e^{-\textup{i}\omega'\ t}\right)</math>
综合<math>x(0) = A_0,v(t) = 0</math>
解得<math>C_1=C_2=\frac{1}{2}A_0</math>
所以<math>x(t) = A_0e^{-\beta t}\cos\left(\omega' t\right),\left(\omega'=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\right)</math>
====== 简谐振动的判定方法 ======
====== 振动的合成与分解 ======
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