序

序

中法之四元，即西法之代數也。諸元、諸乘方、諸互乘積，四元別以位次，代數別以記號，法雖殊，理無異也。我朝康熙時，西國來本之、奈端 二家又創立微分、積分二術。其法亦借徑於代數，其理實發千古未有之奇秘。代數以甲、乙、丙、丁諸元代已知數，以天、地、人、物諸元代未知數；微分、積分以甲、乙、丙、丁諸元代常數，以天、地、人、物諸元代變數。其理之大要：凡線、面、體，皆設爲由小漸大，一刹那中所增之積，即微分也；其全積，即積分也。故積分逐層分之爲無數微分，合無數微分仍爲積分。其法之大要：恒設縱橫二線，以天代橫線，以地代縱線，以𢓍代橫線之微分，以𢓧代縱線之微分。凡代數式，皆以法求其微係數，係於𢓍或𢓧之左，爲一切線、面、體之微分。故一切線、面、體之微分，與縱橫線之微分皆有比例，而疉求微係數，可得線、面、體之級數、曲線之諸異點，是謂微分術。既有線、面、體之微分，可反求其積分。而最神妙者，凡同類諸題，皆有一公式；而每題又各有一本式。公式中恒兼有天地，或兼有𢓍𢓧，但求得本式中天與𢓍之同數，或地與𢓧之同數以代之，乃求其積分，即得本題之全積，是謂積分術。由是，一切曲線、曲線所函面、曲面、曲面所函體，昔之所謂無法者，今皆有法；一切八線求弧𰮔、弧𰮔求八線、眞數求對數、對數求眞數，昔之視爲至難者，今皆至易。嗚呼！算術至此，觀止矣，蔑以加矣！羅君密士，合衆之天算名家也。取代數、微分、積分三術，合爲一書，分款設題，較若列眉，嘉惠後學之功甚大。偉烈君亞力聞而善之，亟購求其書，請余其事，譯行中國。偉烈君之功，豈在羅君下哉！是書先代數，次微分，次積分，由易而難，若階級之漸升。譯旣竣，即名之曰《代微積拾級》。時《幾何原本》刊行之後一年也。

咸豐九年，龍在己未孟夏八日，海寗李善蘭自序。

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幾何之學，自歐几里得 至今，專門名家代不乏人。粤在古昔，希臘最究心此學。爾時以圜錐諸曲線之理爲最精深，亞奇黙德 而後，其學日進。至法蘭西代加德 立縱橫二軸線，推曲線内諸㸃距軸遠近。自有此法，而凡曲線無不可推，故曲線之數多至無窮，而以直線爲限一例，用曲線之法馭之。旣得諸曲線，依代數理推之，可得諸平面、諸曲面、諸體。其已推定之曲線略舉其目：曰平圜線、撱圜線、䨇線、抛物線、半立方抛物線、薜荔葉線、蚌線、擺線、餘擺線、和音線、次擺線、弦切諸線、指數線、對數線、亞奇默德螺線、對數螺線、等角螺線、交互螺線、兩端懸線、葛西尼諸撱圜線、平行動線。而圜錐諸曲線與他曲線統歸一例，無或少異。此代數幾何學也。

自有代數幾何，而微分學之用益大。微分學非一時、一國、一人所作，其源流遠矣。數學有數求數，代數無數求數，然所推皆常數；微分能推一切變數。創法者不一家，理同而術異。來本之者，日爾曼人也，立界說曰：「以小至無窮之㸃，積至無窮多，推其幾何，名爲推無窮小點法。」難者曰：「無窮小之㸃，雖積之至無窮，不能成幾何。」解之曰：「但易無窮小爲任何小，卽有積可推矣。」故其說雖若難解，而其理未始不合也。而英國奈端造首末比例法，不用無窮小之長數，乃用有窮最小長數之比例，而推其漸損之限。其幾何變大則爲末限，變小則爲首限。此法便于幾何而不便于代數，後造流數術，棄不用，而謂萬物皆自變，其變皆有速率。凡幾何俱可用直線顯之，故速率之增損可用直線之界顯之。此說學者皆宗之。

嘉慶末，法蘭西特浪勃 造限法，自云「不過用奈端首末比例」耳。而蘭頓 别創新法，凡微分一憑代數，不云任近限而云已得限，名曰「賸理」。拉格浪 亦造法，多依附戴老之理，大略與蘭頓同。總論之，微分不過求變幾何最小變率之較耳。家數雖多，理實一焉。奈端、來本之同時各精思造法，未嘗相謀相師也。奈端于元上㸃加以顯流數，如「甲（•）」爲「甲」之流數是也，用以推算覺不便，故用來氏之「彳」號以顯之。積分者，合無數微分之積也，亦用來氏之「禾」號以顯之。

微分、積分，爲中士算書所未有。然觀當代天算家，如董方立 氏、項梅侶 氏、徐君靑 氏、戴鄂士 氏、顧尙之 氏，曁李君秋紉所著各書，其理有甚近微分者。因不用代數式，故或言之甚繁，推之甚難。今特偕李君譯此書，爲微分、積分入門之助。異時中國算學日上，未必非此書實基之也。

咸豐九年，歲在己未夏日，耶穌弟子偉 亞力序。