代微积拾级卷一

米利堅羅米士譔

英國  偉烈亞力  口譯  海寧  李善蘭  筆述

代數幾何一
以代數推幾何

凡幾何題理，以代數顯之，簡而易明。代數號益幾何匪淺，故近時西國論幾何諸書恒用之。

幾何題中用代數之位，覺甚便。準之作圖，能顯題之全，所設所求諸數，俱包其内。法用代數已知未知諸元，代題已知未知諸數。視圖中諸叚有連屬之理者，依幾何諸題理推之，本題有若干未知數，須推得若干代數式。旣有若干式，以代數術馭之，旣得諸數。

設題

• 今有句，有股弦和，求股。

如圖，呷𠮙𠰳句股形，命句呷𠮙爲乙，股𠮙𠰳爲天，股弦和爲申，則弦必爲 [math]\displaystyle { 申 \top 天 }[/math]。

依幾何理，

呷𠮙^二丄𠮙𠰳^二 [math]\displaystyle{ \xlongequal{\quad} }[/math] 呷𠰳^二

代作

[math]\displaystyle { 乙 ^ 二 \bot 天 ^ 二 \xlongequal {\quad}(申 \top 天)^ 二 \xlongequal {\quad} 申 ^ 二 \top 二申天 \bot 天 ^ 二 }[/math]。

式两邊各去 [math]\displaystyle { 天 ^ 二 }[/math]，則得

[math]\displaystyle { 乙 ^ 二 \xlongequal {\quad} 申 ^ 二 \top 二申天 }[/math]

卽爲

[math]\displaystyle { 二申天 \xlongequal {\quad} 申 ^ 二 \top 乙 ^ 二 }[/math]，

故得

[math]\displaystyle { 天 \xlongequal {\quad}\frac {二申}{申 ^ 二 \top 乙 ^ 二} }[/math]，

觀此式卽知凡句股形之股，等于股弦和冪内減句冪，以倍股弦和約之之數。如句三尺，股弦和九尺，則 [math]\displaystyle { \frac {二申}{申 ^ 二 \top 乙 ^ 二} }[/math] 卽 [math]\displaystyle { \frac {二 \times 九}{九 ^ 二 \top 三 ^ 二} }[/math] 等于四，卽股也。

• 今有三角形之底與中垂綫，求所容正方邊。

如圖，呷𠮙𠰳三角形，呷𠮙爲底，𠰳㖕爲中垂綫，叮𱒐𠯇𱓒爲所容正方形。命底爲乙，中垂綫爲辛，方邊爲天，則𠰳𠰃必爲 [math]\displaystyle { 辛 \top 天 }[/math]。𱓒𠯇與呷𠮙平行，故依相似三角形之理有比例

呷𠮙:𱓒𠯇::𠰳㖕:𠰳𠰃，

代作

[math]\displaystyle { 乙：天:: 辛：辛 \top 天 }[/math]。

凡四率比例，首尾二率相乘等于中二率相乘，故有式

[math]\displaystyle { 乙辛 \top 乙天 \xlongequal {\quad} 辛天 }[/math]，

所以

[math]\displaystyle { 天 \xlongequal {\quad}\frac {乙 \bot 辛}{乙辛} }[/math]，

卽知所容正方之邊，等于底與中垂綫相乘，以底垂和約之。如底爲十二尺，中垂綫爲六尺，則得所容方邊四尺。