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第123行：
; 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
当然，这个命题的前提是曲率为零的平面，如果是球面那可能不止一条，比如所有经线都过两极点，但都与赤道垂直。
由于这个命题是由“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”和“过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”合并而成的，所以我们也得逐个击破。
对于前者，假设过直线外一点有两条或以上直线与已知直线垂直。那么该点与两个垂足形成三角形。由于是平面，三角形内角和为 <math>180°</math>（这里只能用平行公设），而两直角相加已经有 <math>180°</math>，所以两条“垂线”间的夹角为零。根据角度的定义，这两条直线重合，因此有且仅有一条直线与已知直线垂直。
至于后者，我们用平角的定义仍然发现两条“垂线”间的夹角为零，因此这两条直线重合。
; 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，两直线平行.<br>简单说成：同位角相等，两直线平行.
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