代微积拾级/卷一

米利堅羅米士譔

英國  偉烈亞力  口譯  海寧  李善蘭  筆述

代數幾何一
以代數推幾何

凡幾何題理，以代數顯之，簡而易明。代數號益幾何匪淺，故近時西國論幾何諸書恒用之。

幾何題中用代數之位，覺甚便。準之作圖，能顯題之全，所設所求諸數，俱包其内。法用代數已知未知諸元，代題已知未知諸數。視圖中諸叚有連屬之理者，依幾何諸題理推之，本題有若干未知數，須推得若干代數式。旣有若干式，以代數術馭之，旣得諸數。

設題

• 今有句，有股弦和，求股。

如圖，呷𠮙𠰳句股形，命句呷𠮙爲乙，股𠮙𠰳爲天，股弦和爲申，則弦必爲[math]\displaystyle{ 申\top天 }[/math]。

依幾何理，

呷𠮙^二丄𠮙𠰳^二[math]\displaystyle{ \xlongequal{\quad} }[/math]呷𠰳^二

代作

[math]\displaystyle{ 乙^二\bot天^二\xlongequal{\quad}(申\top天)^二\xlongequal{\quad}申^二\top二申天\bot天^二 }[/math]。

式两邊各去[math]\displaystyle{ 天^二 }[/math]，則得

[math]\displaystyle{ 乙^二\xlongequal{\quad}申^二\top二申天 }[/math]

卽爲

[math]\displaystyle{ 二申天\xlongequal{\quad}申^二\top乙^二 }[/math]，

故得

[math]\displaystyle{ 天\xlongequal{\quad}\frac{二申}{申^二\top乙^二} }[/math]，

觀此式卽知凡句股形之股，等于股弦和冪内減句冪，以倍股弦和約之之數。如句三尺，股弦和九尺，則[math]\displaystyle{ \frac{二申}{申^二\top乙^二} }[/math]卽[math]\displaystyle{ \frac{二\times九}{九^二\top三^二} }[/math]等于四，卽股也。

• 今有三角形之底與中垂綫，求所容正方邊。

如圖，呷𠮙𠰳三角形，呷𠮙爲底，𠰳㖕爲中垂綫，叮𱒐𠯇𱓒爲所容正方形。命底爲乙，中垂綫爲辛，方邊爲天，則𠰳𠰃必爲[math]\displaystyle{ 辛\top天 }[/math]。𱓒𠯇與呷𠮙平行，故依相似三角形之理有比例

呷𠮙:𱓒𠯇::𠰳㖕:𠰳𠰃，

代作

[math]\displaystyle{ 乙:天::辛:辛\top天 }[/math]。

凡四率比例，首尾二率相乘等于中二率相乘，故有式

[math]\displaystyle{ 乙辛\top乙天\xlongequal{\quad}辛天 }[/math]，

所以

[math]\displaystyle{ 天\xlongequal{\quad}\frac{乙\bot辛}{乙辛} }[/math]，

卽知所容正方之邊，等于底與中垂綫相乘，以底垂和約之。如底爲十二尺，中垂綫爲六尺，則得所容方邊四尺。