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第1行：
{{tex}}
高中物理对于一个问题过分地简单化导致学生们对于物理问题与概念的错误理解，其主要原因是数学不够用。
第116行 ⟶ 第115行：
<math>\rho=\frac{\left(\varphi'^2+\psi'^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\left|\varphi'\psi''-\varphi''\psi'\right|}</math>
有了曲率半径，就可以求出一个质点的向心加速度<math>a_n=\frac{
===== 积分 =====
积分分为不定积分与定积分。
第172行：
直角坐标系，顾名思义，三个坐标轴之间两两垂直。
对于画法，需要注意的是，直角坐标系有手
直角坐标系通常可以分成左手系和右手系。
想要理解什么是手
<math>x</math>正方向的基矢称为<math>\vec{i}</math>，
第244行：
牛顿第三定律拓展至时间维度，就成为了动量守恒定律。
==== 平衡的条件 ====
受力平衡：<math>\sum{\
力矩平衡：<math>\sum{\
==== 三种平衡及其判定方法 ====
=== 动力学 ===
第373行：
角动量守恒定律：在转动系统中，若物体只受有心力则角动量守恒，即<math>\vec{L} = const</math>
力矩：<math>\
平行轴定理：设刚体质量为<math>m</math>,选择过刚体质心的转动轴时刚体的转动惯量为<math>I_0</math>，则相对于距离该转轴为<math>d</math>的转轴，有<math>I = I_0 + md^2</math>
第381行：
刚体转动动能：<math>E_k = \frac{1}{2}I\omega^2</math>
刚体平衡条件：平动<math>\sum{\
==== 平行轴定理 ====
[[文件:PXZ.png|缩略图]]
设刚体质量为<math>m</math>,选择过刚体质心的转动轴时刚体的转动惯量为<math>I_0</math>，则相对于距离该转轴为<math>d</math>的转轴，有<math>I = I_0 + md^2</math>
找一质元<math>dm</math>，则对于此质元有<math>dI_0 = dm\cdot|\vec{r_1}|^2</math>。
现在，改变转轴，则<math>dI-dI_0 = dm\cdot|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^2 = dm\cdot d^2</math>。
所以<math>dI = dI_0 + dm\cdot d^2</math>
两边积分得到<math>I = I_0 + md^2</math>
==== 垂直轴定理 ====
[[文件:CZZ.png|缩略图]]
设有一平面刚体，在其面上一点建立直角坐标系，那么<math>I_z = I_x + I_y</math>。
计算，写出三个方向作为转轴的转动惯量积分式。
<math>I_z = \int r_z^2dm = \int\left(x^2+y^2\right)dm</math>
<math>I_x = \int r_x^2dm = \int\left(y^2+z^2\right)dm</math>
<math>I_y = \int r_y^2dm = \int\left(x^2+z^2\right)dm</math>
因为该刚体是一个平面刚体,则<math>z = 0</math>，
带入后可以得到<math>I_z = I_x + I_y</math>。
==== 常用刚体转动惯量 ====
===== 杆 =====
[[文件:G.png|缩略图]]
对于长度为<math>l</math>的杆，设其质量均匀，线密度为<math>\lambda</math>。
选取一小段质元，则<math>dm = \lambda dx = \frac{m}{l}dx</math>
其转动惯量<math>dI = dm\cdot x^2 = x^2\lambda dx = \frac{m}{l}x^2dx</math>
由于质心位于中点位置，所以积分区间为<math>\left[-\frac{l}{2},\frac{l}{2}\right]</math>
计算：<math>I = \frac{m}{l}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}x^2dx= \frac{m}{l}\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{l^3}{8}+\frac{l^3}{8}\right) = \frac{1}{12}ml^2</math>
===== 平面方形 =====
[[文件:
对于长为<math>a</math>，宽为<math>b</math>的杆，设其质量均匀，面密度为<math>\sigma</math>。
利用垂直轴定理——
对于<math>x</math>轴，我们有：
<math>I_x = \int_{0}^{b} \frac{1}{12}dm\cdot a^2 = \int_{0}^{b} \frac{1}{12}\sigma a\cdot a^2dx</math>
选取一小段质元，则<math>dm = \sigma\cdot a dx</math>
所以<math>I_x = \frac{1}{12}\sigma a^3b = \frac{1}{12}ma^2</math>
对于<math>y</math>轴，我们有：
<math>I_y = \int_{0}^{a} \frac{1}{12}dm\cdot b^2 = \int_{0}^{a} \frac{1}{12}\sigma a\cdot b^2dy</math>
选取一小段质元，则<math>dm = \sigma\cdot b dy</math>
所以<math>I_y = \frac{1}{12}\sigma ab^3 = \frac{1}{12}mb^2</math>
所以<math>I_z = I_x + I_y = \frac{1}{12}m\left(a^2+b^2\right)</math>
或者使用平行轴定理直接积分：
所以<math>I_z = \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \left(\frac{1}{12}a^2 + x^2\right)dm = \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \left(\frac{1}{12}a^2 + x^2\right)a\sigma\cdot dx = \frac{1}{12}m\left(a^2 + b^2\right)</math>
===== 圆环 =====
[[文件:YP.png|缩略图]]
对于位于圆心的，垂直于圆环所在平面的转动轴。
仍然可以设其线密度为<math>\lambda</math>，
<math>I_{\perp} = \int R^2 dm = \int_0^{2\pi} \lambda R^3d\theta = 2\pi R^3\lambda = mR^2</math>
对于转动穿过圆心，且在圆心平面上的，可以使用垂直轴定理，
由于圆环的对称性，可知此时<math>I_{//} = \frac{1}{2}I_{\perp} = \frac{1}{2}mR^2</math>
当然也可以使用曲线长公式得到<math>dm = \lambda ds = \lambda\sqrt{1 + y'^2}dx</math>
则<math>I_{//} = 2\int_{-R}^R \lambda x^2\sqrt{1 + y'^2}\ dx = 2\lambda\int_{-R}^R x^2\sqrt{1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2}}\ dx</math>
<math>= 2\lambda\int_{-R}^R \frac{Rx^2}{\sqrt{R^2 - x^2}}\ dx = 2\lambda R\int_{-R}^R \frac{x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}}\ dx = 2\pi R^3\lambda = mR^2</math>
===== 圆盘 圆柱 =====
[[文件:YH.png|缩略图]]
第400行 ⟶ 第468行：
===== 球壳 =====
[[文件:QC.png|缩略图]]
===== 球体 =====
[[文件:QT.png|缩略图]]
第434行 ⟶ 第501行：
在微小摆动下，可以简化为<math>ml\beta+mg\theta=0</math>
就是最常见的简谐振动的微分方程形式<math>ml\ddot{\theta}+mg
可以轻松得到单摆的一系列性质<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, \theta = \theta_{max}\cos{\sqrt{\frac{g}{l}}t}</math>等等。
第592行 ⟶ 第659行：
解得<math>\omega = \frac{-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-4mk}}{2k}</math>
令<math>\beta = \frac{\alpha}{2m},\omega_0 = \sqrt{\frac{
则<math>\omega = -\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}</math>
第629行 ⟶ 第696行：
所以<math>x(t) = A_0e^{-\beta t}\cos\left(\omega' t\right),\left(\omega'=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\right)</math>
====== 简谐振动的判定方法 ======
====== 振动的合成与分解 ======
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