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第1行：
{{tex}}
高中物理对于一个问题过分地简单化导致学生们对于物理问题与概念的错误理解，其主要原因是数学不够用。
因此，本页会使用大量高等数学的方法来帮助理解物理的本质。
本页中若不注明，则引用部分中，物理部分大部分来自大学《新概念普通物理》，数学部分大部分来自同济七版的《高等数学》。
== 力学 ==
=== 运动学 ===
第114行 ⟶ 第115行：
<math>\rho=\frac{\left(\varphi'^2+\psi'^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\left|\varphi'\psi''-\varphi''\psi'\right|}</math>
有了曲率半径，就可以求出一个质点的向心加速度<math>a_n=\frac{
===== 积分 =====
积分分为不定积分与定积分。
====== 不定积分 ======
不定积分是导数和微分的逆运算，所以可以写成<math>\int{F'(x)dx} = F(x) + C</math>
第143行 ⟶ 第141行：
积分一下，就可以得到<math>\int uv'\ dx = uv - \int u'v\ dx</math>
====== 定积分 ======
定积分：<math>\int_a^b f(x)\ dx = F(b) - F(a)</math>
===== 位移 速度 加速度 =====
===== 曲线的路径长 =====
对于曲线<math>C:y=f(x)</math>
第158行 ⟶ 第152行：
有：<math>s(t) = \int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\varphi'^2(t) + \psi'^2(t)}dt}</math>
==== 使用相图简化问题 ====
===== 定义 =====
相图是用来描述相空间的图像。
相空间在数学与物理学中，是一个用以表示出一系统所有可能状态的空间；系统每个可能的状态都有一相对应的相空间的点。
由于其物理量极其多，所以相空间的维度极高，定义也极为宽泛，所以一般取其中两个维度研究，这两个量对应的关系所绘制出的图像称为相图。
==== 运动的关联 ====
==== 坐标系 ====
坐标系就是对参考系的进一步抽象，进而与数学相结合，以更好描述物体的位置。
===== 存在的绝对性 =====
首先，想要理解何为坐标，就要理解什么是绝对的，什么是相对的。
一个矢量存在于空间中，它应是绝对存在的，而对于运动的描述，只是对矢量从不同角度去描述，因此，坐标它是相对的。
能量也是绝对的，无论怎么换参考系，一个守恒系统的能量依旧是那么多。
===== 直角坐标系 =====
[[文件:ZJZB.png|缩略图]]
直角坐标系，顾名思义，三个坐标轴之间两两垂直。
对于画法，需要注意的是，直角坐标系有手性的说法。
直角坐标系通常可以分成左手系和右手系。
想要理解什么是手性，就要理解直角坐标基矢。
<math>x</math>正方向的基矢称为<math>\vec{i}</math>，
<math>y</math>正方向的基矢称为<math>\vec{j}</math>，
<math>z</math>正方向的基矢称为<math>\vec{k}</math>。
如果一个直角坐标系是左手系，那么三个基矢互相之间的运算就为<math>\vec{i}\times\vec{j} = -\vec{k},\vec{j}\times\vec{k} = -\vec{i},\vec{k}\times\vec{i} = -\vec{j}</math>。
由此可见，左手系的基矢运算很不方便，而对于右手系，就不存在符号，直接就满足一个简单的轮换关系：<math>\vec{i}\times\vec{j} = \vec{k},\vec{j}\times\vec{k} = \vec{i},\vec{k}\times\vec{i} = \vec{j}</math>。
所以，通常用右手系为宜。
对于直角坐标系，通常一个可解析的物体会被描述为<math>f(x,y,z)</math>，如果取<math>f(x,y,z) = 0</math>，那么它就描述一条线或一个面，如果取<math>f(x,y,z)</math>与一个常数的关系是用非等号连接，那么就在描述一个体。
===== 极坐标系 =====
[[文件:JZB.png|缩略图]]
极坐标系，顾名思义就是有一个极点，一条射线坐标轴，还有与坐标轴的夹角来描述物体的位置。
坐标<math>(\rho,\theta)</math>，函数通常是<math>\rho(\theta)</math>，也会有<math>\theta(\rho)</math>。
坐标基矢通常写为<math>\hat{\rho},\hat{\theta}</math>，<math>\hat{\rho}</math>代表法向，向极点外方向指，<math>\hat{\theta}</math>代表切向，沿着逆时针方向指，两者互相垂直。
相比于直角坐标系，极坐标系的优点是可以简化大量曲线的运算，避免隐函数的使用，特别是闭合曲线与天体运动中用得很多；但是由于极坐标系的基矢不具有平移不变性，所以对于换参考系这件事就非常困难。
极坐标系与平面直角坐标系的坐标换算公式（原点/极点重合）：
<math>\rho = \sqrt{x^2+y^2},\theta = \arctan{\frac{y}{x}}</math>
<math>x = \rho\cos\theta,y = \rho\sin\theta</math>
===== 球坐标系 =====
[[文件:QZB1.png|缩略图]]
[[文件:QZB2.png|缩略图]]
顾名思义，球坐标系是通过描述一个点在一个特定半径的球面的位置来描述位置的。
坐标<math>(r,\theta,\varphi)</math>，其中点到原点的距离称为<math>r</math>，
点与<math>z</math>轴构成的平面与<math>x</math>轴的夹角称为<math>\theta</math>，
点与原点连线与平面<math>xOy</math>的夹角为<math>\varphi</math>。
基矢为<math>\hat{r},\hat{\theta},\hat{\varphi}</math>，方向如图。
与直角坐标的换算公式：
<math>r = \sqrt{x^2+y^2+z^2},\theta = \arctan\frac{y}{x},\varphi = \arctan\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>
<math>x = r\cos\varphi\cos\theta,y = r\cos\varphi\sin\theta,z = r\sin\varphi</math>
===== 自然坐标系 =====
顾名思义，就是顺其自然的。
自然坐标是指在一条曲线上，选一个点作为原点，然后想象把这条曲线拉直，变成类似数轴的单维度坐标。
当然曲面上建立一个的弯曲的“平面坐标系”也是可以的。
=== 静力学 ===
==== 惯性系 ====
惯性参照系，1885年由德国物理学家提出，提出者并非牛顿，而由于适用于牛顿力学，人们往往认为是牛顿提出。
服从惯性定律的参考系叫做惯性系。
牛顿运动定律在其中有效的参考系，且<math>a=0</math>。称为惯性坐标系，简称惯性系。如果<math>S</math>为一惯性系，则任何对于<math>S</math>作匀速直线运动的参考系<math>S'</math>都是惯性系；而对于S作加速运动的参照系则是非惯性参考系（非惯性系）。所有惯性系都是等效（等价）的。一个参考系是不是惯性系要通过实验确定。
==== 牛顿第一第三定律 ====
牛顿第一运动定律，简称牛顿第一定律。又称惯性定律。
任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。
牛顿第三运动定律的常见表述是：相互作用的两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。
牛顿第三定律拓展至时间维度，就成为了动量守恒定律。
==== 平衡的条件 ====
受力平衡：<math>\sum{\overrightarrow{F_i}}</math> = 0。
力矩平衡：<math>\sum{\overrightarrow{M_i}}</math> = 0。
==== 三种平衡及其判定方法 ====
=== 动力学 ===
第174行 ⟶ 第253行：
==== 运动的关联 ====
==== 微分方程的动力学应用 ====
例如，带空气阻力的落体问题。
第196行 ⟶ 第274行：
所以求得<math>v = \frac{mg}{k}\left(1 - \exp\left\{-\frac{k}{m}t\right\}\right)</math>
=== 能量 ===
==== 狭义功 ====
==== 保守力与非保守力 ====
===== 保守力 =====
====== 定义 ======
在物理系统里，假若一个粒子，从起始点移动到终结点，由于受到作用力，且该作用力所做的功不因为路径的不同而改变，则称此力为保守力。
假若一个物理系统里，所有的作用力都是保守力，则称此系统为保守系统。
比如重力，引力势能，电势能等。
====== 性质 产生原因 势能 ======
保守力的功与物体运动所经过的路径无关，只与运动物体的起点和终点的位置有关，当然也与保守力场的性质有关。
势能(位能)定义：相互作用的物体间由于所在的位置不同而具有的能量。
以重力势能为例，物体和地球间有万有引力，物体下落时，它们发生了相对运动，而且万有引力还对物体做了功，物体动能发生变化，那么这个动能从何而来呢，就是由他们之间的势能转化而来。
由于地球质量远远大于物体，地球几乎不受影响，所以我们平时一般都说某个物体的重力势能，其实重力势能是物体和地球所共有的。
势能可以理解为是一种储存起来的一种能量，处于一定的势态，所以才用“势”。
由于保守力所做的功与运动物体所经过的路径无关,因此，如果物体沿闭合路径绕行一周，则保守力对物体所做的功恒为0，也就是说势能与其他形式能量的转化为零，（功是能量转化的量度，功为零，能量转化为零），于是系统间的势能就不变。
也就是说，当相对位置确定时时，它们之间的势能就是确定的、唯一的。也正因为此，才使势能的概念具有实际意义。
====== 判断方法 ======
充要条件就是场矢量的旋度为零，我们也称为无旋场，例如静电场就是无旋场，因此是保守场。
1、对于一维运动，凡是位置X单值函数的力都是保守力。例如服从胡克定律的弹性力<math>f=f(x)=-k(x-x_0)</math>是<math>x</math>的单值函数，故它是保守力。
2、对于一维以上运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力<math>G=mg</math>，是保守力。
3、若在空间中存在某个中心<math>O</math>，物体（质点）<math>P</math>在任何位置上所受的力<math>F</math>都与<math>\overrightarrow{OP}</math>方向相同（排斥力），或相反（吸引力），其大小是距离<math>r=|\overrightarrow{OP}|</math>的单值函数，则这种力叫做“有心力”，例如万有引力就是有心力，凡有心力都是保守力。
===== 非保守力 =====
====== 定义 ======
凡做功与路径有关的力称为非保守力。
常见的摩擦力，物体间相互做非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。
非保守力具有沿任意闭合路径做功不等于零的特点。非保守力包括耗散力和非耗散力两类。
在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力，所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。
====== 耗散力 非耗散力 ======
耗散力是指对系统或物体做负功，而使之总机械能减少的力。
如摩擦力。除空气阻力外，爆炸力，内燃机气缸中气体对活塞的推力都是耗散力。
耗散力之所以命名为“耗散”，是由于这种力所做的功一般是跟机械运动转化为非机械运动（如热运动）紧密联系在一起。
事实上，并不存在耗散力这种说法，因为即使耗散成了内能，它仍然增加的是分子势能、分子动能等等。
只是因为人们无法在研究时将所有分子的能量都一一计算，只能采用统计的手段，把它认为成另一种能量。
更重要的原因是：人们无法直接使用分子动能与势能。
非耗散力指能对系统或物体做正功，而且做功与路径有关的力。如磁力。
做功多少和物体运动路径有关的力叫非保守力。
非保守力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关。
例如，人推车是克服摩擦力做功，摩擦力是非保守力，人推车对车做的功并不与车向哪个方向运动有关。
又如，空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而改变，它的大小随物体运动速度增大而增加。
非保守力不像保守力，对于两个位置之间，力对物体做功没有确定的值，从而相应的两个位置之间没有一定的能量差。
所以非保守力和物体系的势能没有联系。物体在有非保守力作用时，其动能与势能之和（机械能）不再守恒。
====== 判定方法 ======
做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。做功多少和物体运动路径有关的力叫非保守力。
==== 功能原理和机械能守恒定律 ====
功能原理：系统的机械能等于系统内势能、动能和非保守力所做功以及系统所受外力做的功的总和，
第214行 ⟶ 第357行：
=== 动量、角动量 ===
==== 有关的所有公式、定律、定理 ====
动量：<math>\vec{p} =
冲力：<math>\vec{F} = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{m \Delta
动量定理：<math>\sum{I_i} = \sum {m_i
动量守恒定律：系统在不受外力的情况下动量矢量和为零，即<math>\sum {m_i
转动惯量<math>I</math>(下面使用<math>I</math>的都是转动惯量)
角加速度：<math>\beta = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta \omega}{\Delta t}}</math>
角动量：<math>\vec{L} = \vec{r}\times
角动量守恒定律：在转动系统中，若物体只受有心力则角动量守恒，即<math>\vec{L} =
力矩：<math>\overrightarrow{M} = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta
平行轴定理：设刚体质量为<math>m</math>,选择过刚体质心的转动轴时刚体的转动惯量为<math>I_0</math>，则相对于距离该转轴为<math>d</math>的转轴，有<math>I = I_0 + md^2</math>
垂直轴定理：设有一平面刚体，在其面上一点建立直角坐标系，那么<math>I_z = I_x + I_y</math>。
刚体转动动能：<math>E_k = \frac{1}{2}I\omega^2</math>
刚体平衡条件：平动<math>\sum{\overrightarrow{F_i}} = 0</math>，转动：<math>\sum{\overrightarrow{M_i}} = 0</math>
==== 平行轴定理 ====
[[文件:PXZ.png|缩略图]]
设刚体质量为<math>m</math>,选择过刚体质心的转动轴时刚体的转动惯量为<math>I_0</math>，则相对于距离该转轴为<math>d</math>的转轴，有<math>I = I_0 + md^2</math>
找一质元<math>dm</math>，则对于此质元有<math>dI_0 = dm\cdot|\vec{r_1}|^2</math>。
现在，改变转轴，则<math>dI-dI_0 = dm\cdot|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^2 = dm\cdot d^2</math>。
所以<math>dI = dI_0 + dm\cdot d^2</math>
两边积分得到<math>I = I_0 + md^2</math>
==== 垂直轴定理 ====
[[文件:CZZ.png|缩略图]]
设有一平面刚体，在其面上一点建立直角坐标系，那么<math>I_z = I_x + I_y</math>。
计算，写出三个方向作为转轴的转动惯量积分式。
<math>I_z = \int r_z^2dm = \int\left(x^2+y^2\right)dm</math>
<math>I_x = \int r_x^2dm = \int\left(y^2+z^2\right)dm</math>
<math>I_y = \int r_y^2dm = \int\left(x^2+z^2\right)dm</math>
因为该刚体是一个平面刚体,则<math>z = 0</math>，
带入后可以得到<math>I_z = I_x + I_y</math>。
==== 常用刚体转动惯量 ====
===== 杆 =====
[[文件:G.png|缩略图]]
对于长度为<math>l</math>的杆，设其质量均匀，线密度为<math>\lambda</math>。
选取一小段质元，则<math>dm = \lambda dx = \frac{m}{l}dx</math>
其转动惯量<math>dI = dm\cdot x^2 = x^2\lambda dx = \frac{m}{l}x^2dx</math>
由于质心位于中点位置，所以积分区间为<math>\left[-\frac{l}{2},\frac{l}{2}\right]</math>
计算：<math>I = \frac{m}{l}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}x^2dx= \frac{m}{l}\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{l^3}{8}+\frac{l^3}{8}\right) = \frac{1}{12}ml^2</math>
===== 平面方形 =====
[[文件:PMFX2.png|缩略图]]
对于长为<math>a</math>，宽为<math>b</math>的杆，设其质量均匀，面密度为<math>\sigma</math>。
利用垂直轴定理——
对于<math>x</math>轴，我们有：
<math>I_x = \int_{0}^{b} \frac{1}{12}dm\cdot a^2 = \int_{0}^{b} \frac{1}{12}\sigma a\cdot a^2dx</math>
选取一小段质元，则<math>dm = \sigma\cdot a dx</math>
所以<math>I_x = \frac{1}{12}\sigma a^3b = \frac{1}{12}ma^2</math>
对于<math>y</math>轴，我们有：
<math>I_y = \int_{0}^{a} \frac{1}{12}dm\cdot b^2 = \int_{0}^{a} \frac{1}{12}\sigma a\cdot b^2dy</math>
选取一小段质元，则<math>dm = \sigma\cdot b dy</math>
所以<math>I_y = \frac{1}{12}\sigma ab^3 = \frac{1}{12}mb^2</math>
所以<math>I_z = I_x + I_y = \frac{1}{12}m\left(a^2+b^2\right)</math>
或者使用平行轴定理直接积分：
所以<math>I_z = \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \left(\frac{1}{12}a^2 + x^2\right)dm = \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \left(\frac{1}{12}a^2 + x^2\right)a\sigma\cdot dx = \frac{1}{12}m\left(a^2 + b^2\right)</math>
===== 圆环 =====
[[文件:YP.png|缩略图]]
对于位于圆心的，垂直于圆环所在平面的转动轴。
仍然可以设其线密度为<math>\lambda</math>，
<math>I_{\perp} = \int R^2 dm = \int_0^{2\pi} \lambda R^3d\theta = 2\pi R^3\lambda = mR^2</math>
对于转动穿过圆心，且在圆心平面上的，可以使用垂直轴定理，
由于圆环的对称性，可知此时<math>I_{//} = \frac{1}{2}I_{\perp} = \frac{1}{2}mR^2</math>
当然也可以使用曲线长公式得到<math>dm = \lambda ds = \lambda\sqrt{1 + y'^2}dx</math>
则<math>I_{//} = 2\int_{-R}^R \lambda x^2\sqrt{1 + y'^2}\ dx = 2\lambda\int_{-R}^R x^2\sqrt{1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2}}\ dx</math>
<math>= 2\lambda\int_{-R}^R \frac{Rx^2}{\sqrt{R^2 - x^2}}\ dx = 2\lambda R\int_{-R}^R \frac{x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}}\ dx = 2\pi R^3\lambda = mR^2</math>
===== 圆盘 圆柱 =====
[[文件:YH.png|缩略图]]
[[文件:YZ.png|缩略图]]
===== 球壳 =====
[[文件:QC.png|缩略图]]
===== 球体 =====
[[文件:QT.png|缩略图]]
=== 守恒律 ===
从古至今，物理中最美妙的就是守恒与不守恒。
第271行 ⟶ 第501行：
在微小摆动下，可以简化为<math>ml\beta+mg\theta=0</math>
就是最常见的简谐振动的微分方程形式<math>ml\ddot{\theta}+mg
可以轻松得到单摆的一系列性质<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, \theta = \theta_{max}\cos{\sqrt{\frac{g}{l}}t}</math>等等。
==== 天体运动 ====
===== 开普勒三定律 =====
第一定律（轨道定律），行星的运动轨道是椭圆，太阳就位于椭圆的一个焦点上。
第300行 ⟶ 第529行：
所以<math>\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2} = k</math>
===== 平方反比引力 =====
一个力之所以是平方反比，是因为它激发的场的能量在三维空间中有各向同性的性质，所以它的能量衰减与<math>4\pi r^2</math>成反比。
第318行 ⟶ 第545行：
这就表明了行星所受的是平方反引力。
===== 万有引力定律 =====
接上一小节，在证明了万有引力是平方反比引力后，我们进一步推导。
第334行 ⟶ 第559行：
也可以写成矢量式<math>\vec{F} = -\frac{GMm}{r^2}\hat{r} = -\frac{GMm}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}</math>
===== 三个宇宙速度 =====
====== 第一宇宙速度 ======
第一宇宙速度是卫星在近地轨道上能够绕地公转的最小速度。
由定义<math>\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}</math>
解得：<math>v = \sqrt{\frac{GM}{r}}</math>
由于是近地轨道所以<math>r\approx R_e = 6.4\times10^6\textup{m}</math>
对于地球，取<math>M = m_e = 6.0\times10^{24}\textup{kg},G = 6.67259\times10^{-11}\textup{m}\cdot\textup{kg}^{-1}\cdot\textup{s}^{-2}</math>
解得：<math>v_1 = v = 7.9\times 10^3\textup{m/s} = 7.9\textup{km/s}</math>
====== 第二宇宙速度 ======
第二宇宙速度是指航天器能够脱离地球引力所需的最小速度。
由定义，选取无穷远处为引力势能零点，则<math>\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r} = 0</math>
解得：<math>v_2 = v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}</math>
对于地球，取<math>M = m_e = 6.0\times10^{24}\textup{kg},G = 6.67259\times10^{-11}\textup{m}\cdot\textup{kg}^{-1}\cdot\textup{s}^{-2}</math>
解得：<math>v_2 = \sqrt{2}v_1 = 11.2\textup{km/s}</math>
====== 第三宇宙速度 ======
第三宇宙速度是航天器能够脱离太阳引力所需的最小速度。
由定义：<math>\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r} = 0</math>
解得：<math>v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}</math>
对于太阳，取<math>M = m_s = 2.0\times10^{30}\textup{kg},G = 6.67259\times10^{-11}\textup{m}\cdot\textup{kg}^{-1}\cdot\textup{s}^{-2},r = 1\textup{AU} = 1.5\times10^{11}\textup{m}</math>
解得：<math>v = 42.2\textup{km/s}</math>
若要速度最小，则要充分利用地球自转的切向速度<math>v' = \sqrt{\frac{Gm_s}{r_{se}}} = 29.8\textup{km/s}</math>
所以得到第三宇宙速度的切向速度<math>v_{3\tau} = v - v' = 12.4\textup{km/s}</math>
当然还要加上脱离地球的法向速度，这个速度就是第二宇宙速度<math>v_{3n} = v_2 = 11.2\textup{km/s}</math>
所以第三宇宙速度<math>v_3 = \sqrt{v_{3\tau}^2 + v_{3n}^2} = 16.7\textup{km/s}</math>
==== 振动与波动 ====
===== 线性常微分方程 =====
线性常微分方程是微分方程中出现的未知函数和该函数各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程。它的理论是常微分方程理论中基本上完整、在实际问题中应用很广的一部份。
接下来，我们将会使用它大量解题。
===== 振动 =====
====== 定义 ======
振动(又称振荡)是指一个状态改变的过程。即物体的往复运动。
====== 简谐振动 ======
[[文件:J.png|缩略图]]
对于简谐振动，我们有动力学方程<math>ma = -kx</math>
即<math>m\ddot{x} + kx = 0</math>
不妨设<math>x = Ae^{\textup{i}\omega t}</math>
则<math>-mA\omega^2e^{\textup{i}\omega t} + kAe^{\textup{i}\omega t} = 0</math>
解得<math>\omega = \pm\sqrt{\frac{k}{m}}</math>
所以<math>x(t) = C_1e^{\textup{i}\sqrt{\frac{k}{m}}t} + C_2e^{-\textup{i}\sqrt{\frac{k}{m}}t}</math>
<math>a(t) = -\frac{k}{m}C_1e^{\textup{i}\sqrt{\frac{k}{m}}t} -\frac{k}{m}C_2e^{-\textup{i}\sqrt{\frac{k}{m}}t}</math>
可带入特解<math>x(0) = A,a(0) = -\frac{kx(0)}{m}</math>
解得<math>C_1 = C_2 = \frac{1}{2}A</math>
所以<math>x(t) = \frac{1}{2}A\left(e^{\textup{i}\sqrt{\frac{k}{m}}t} + e^{-\textup{i}\sqrt{\frac{k}{m}}t}\right)</math>
通过欧拉公式化简可以得到<math>x(t) = A\cos(\omega t),\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>
所以<math>T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}</math>
====== 受迫振动 ======
[[文件:F.png|缩略图]]
对于受迫振动，我们有动力学方程<math>ma = -kx + F_0\cos\omega t</math>
即<math>m\ddot{x} + kx - F_0\cos\omega t = 0</math>
不妨设<math>x = Ae^{\textup{i}\omega t},\widetilde{x} = Ae^{\textup{i}\varphi}e^{\textup{i}\omega t}</math>
则<math>-mA\omega^2e^{\textup{i}\varphi}e^{\textup{i}\omega t} + kAe^{\textup{i}\varphi}e^{\textup{i}\omega t} = F_0\cos\omega t</math>
<math>-m\omega^2\ddot{\widetilde{x}} + k\widetilde{x} = F_0\cos\omega t</math>
解得<math>\widetilde{x} = \frac{F_0\cos\omega t}{k - m\omega^2}</math>
所以当其频率<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>时，该振动的振幅将在理想态下放出巨大的能量，这就是共振。
<math>\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>称为弹簧振子的固有频率。
====== 阻尼振动 ======
[[文件:Z.png|缩略图]]
对于简谐振动，我们有动力学方程<math>ma = -kx - \alpha v</math>
即<math>m\ddot{x} + \alpha \dot{x} + kx = 0</math>
不妨设<math>x = Ae^{\omega t}</math>
则<math>mA\omega^2e^{\omega t} + \beta\omega Ae^{\omega t} + kAe^{\omega t} = 0</math>
解得<math>\omega = \frac{-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-4mk}}{2k}</math>
令<math>\beta = \frac{\alpha}{2m},\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>
则<math>\omega = -\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}</math>
下面对根进行讨论，当<math>\beta > \omega_0</math>，
则<math>x(t) = C_1e^{\omega_1 t} + C_2e^{\omega_2\ t}</math>
<math>v(t) = C_1\omega_1e^{\omega_1 t} + C_2\omega_2e^{\omega_2\ t}</math>
综合<math>x(0) = A_0,v(t) = 0</math>
解得<math>C_1=\frac{\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}A_0,C_2 = \frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}A_0</math>
所以<math>x(t) = \frac{\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}A_0\exp\left\{\left(-\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\right)t\right\} + \frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}}A_0\exp\left\{\left(-\beta-\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\right)t\right\}</math>
可见此时，振动将不会发生，会直接衰减。
当<math>\beta = \omega_0</math>，
则<math>x(t) = Ae^{-\beta t}</math>
此时，振动仍不会发生，直接衰减。
当<math>\beta < \omega_0</math>，
记<math>\textup{i}\omega'=\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}</math>
则<math>x(t) = C_1e^{-\beta+\textup{i}\omega' t} + C_2e^{-\beta-\textup{i}\omega'\ t}=e^{-\beta t}\left(C_1e^{\textup{i}\omega' t} + C_2e^{-\textup{i}\omega'\ t}\right)</math>
<math>v(t) = e^{-\beta t}\left(\textup{i}\omega'C_1e^{\textup{i}\omega' t} -\textup{i}\omega'C_2e^{-\textup{i}\omega'\ t}\right)</math>
综合<math>x(0) = A_0,v(t) = 0</math>
解得<math>C_1=C_2=\frac{1}{2}A_0</math>
所以<math>x(t) = A_0e^{-\beta t}\cos\left(\omega' t\right),\left(\omega'=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\right)</math>
====== 简谐振动的判定方法 ======
====== 振动的合成与分解 ======
第350行 ⟶ 第704行：
====== 波的合成与分解 ======
====== 马赫锥 ======
[[文件:MHZ.png|缩略图]]
当波源运动速度高于波速时，波面的包络面呈圆锥状，称为马赫锥。
当一个微弱的点扰源(如尖头弹丸的顶尖)以超声速在大气中运动或位于超声速匀直流中时，存在一个以点扰源为顶点、把空间分为扰动区和未扰动区的锥面，称为马赫锥，锥的半顶角称为马赫角。
它是奥地利物理学家<math>E</math>.马赫于1887年在分析弹丸扰动的传播图形时首先提出的，因而得名。
微弱扰动使气体的速度、压强、密度和温度等发生微小的变化，并以声速相对于气体而传播。
马赫锥的形成可用点扰源的运动来说明 。
若点扰源以超声速<math>v</math>在空气中作等速直线运动，则一秒钟后,扰源由<math>A</math>点（经<math>B</math>、<math>C</math>点）到达<math>D</math>点,走过的距离等于<math>v</math>。
这时，在<math>A</math>点产生的扰动扩展到以<math>A</math>点为中心、速度<math>c</math>为半径的球面上。
由于<math>v</math>大于<math>c</math>,故D点在以<math>A</math>为中心的圆外。
扰源于<math>B</math>、<math>C</math>等点产生的扰动，也分别扩展到相应的球面上。
马赫锥就是以直线<math>DE</math>为母线的锥面，这个锥面就是那些球面的包络面。锥面的半顶角为马赫角<math>μ=arc sin\frac{c}{v}</math>。
随着扰源向前运动，马赫锥也作为一个波面往前传播，故有时也称马赫波。若取随扰源运动的相对坐标系，则成为定常超声速流中的马赫锥。
对于二维平面流动，马赫锥退化为两条直线，称为马赫线。
若扰源以亚声速运动，则产生的扰动可传到扰源之前，因而不形成马赫锥。
====== 切伦科夫辐射 ======
[[文件:QLKFFS.png|缩略图]]
契伦科夫辐射是介质中运动的物体速度超过光在该介质中速度时发出的一种以短波长为主的电磁辐射，其特征是蓝色辉光。
这种辐射是1934年由前苏联物理学家帕维尔·阿列克谢耶维奇·契伦科夫发现的，因此以他的名字命名。
根据狭义相对论，具有静质量的物体运动速度不可能超过真空中的光速<math>c</math>，而光在介质中的传播速度（群速度）是小于<math>c</math>的，例如在水（折射率<math>n≈1.33</math>）中光仅以<math>0.75c</math>的速度在传播。
物体可以被加速到超过介电质中的光速，加速的来源可以是核反应或者是粒子加速器。
当超过介电质中光速的粒子是带电时（通常是电子）并通过这样的介质时，契伦科夫辐射即会产生。
和契伦科夫辐射类似的是超音速飞行器或子弹的音爆现象。
由超音速物体产生的音波速度无法快到足以离开物体，因此波“堆积”了起来，形成了一个震波波前。
类似的情形，快船超过水波速度时也会在水面上产生很大的弓形震波。
相同地，当一个带电的超光速粒子行经绝缘体，会产生光子振波。
如图所示，<math>c</math>是真空光速，<math>n</math>是介质的折射率，<math>v</math>是粒子速度（红色箭头），<math>β=v/c</math>。
蓝色箭头则是发出的光。几何上，此二方向之角度关系为：<math>v=βc>c/n</math>。
====== 多普勒效应 ======
== 电磁学 ==
第405行 ⟶ 第805行：
===== 电通量 =====
===== 高斯定理 =====
<math>\oiint \vec{E}ds = \iiint \rho dv = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>
===== 电偶极子 =====
===== 等势面 =====
第441行 ⟶ 第842行：
===== 磁通量 =====
==== 磁高斯定理 ====
<math>\oiint{\vec{B}\cdot\textup{d}\vec{s}} = 0</math>
==== 毕奥萨伐尔定律 ====
对于一个闭合回路的电流圈，在空间中一点处的磁感应强度可以写为：
<math>\vec{B} = \oint_L\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{
==== 安培环路定理 ====
==== 环路积分 ====
第461行 ⟶ 第861行：
=== 电磁感应 ===
==== 麦克斯韦方程组 ====
微分形式：
<math>\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
<math>\nabla\cdot\vec{B} = 0</math>
<math>\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}</math>
<math>\nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}</math>
积分形式：
<math>\oiint{\vec{E}\cdot\textup{d}\vec{s}} = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>
<math>\oiint{\vec{B}\cdot\textup{d}\vec{s}} = 0</math>
<math>\oint_{L}{\vec{E}\cdot\textup{d}\vec{l}} = -\frac{\textup{d}\Phi_B}{\textup{d}t}</math>
<math>\oint_{L}{\vec{B}\cdot\textup{d}\vec{l}} = \mu_0 I + \frac{\textup{d}\Phi_E}{\textup{d}t}</math>
==== 磁生电 ====
===== 涡旋电场 =====
第482行 ⟶ 第901行：
=== 热力学定律 ===
=== 指正化学高考错题 ===
==== 写这章的原因 ====
原因很简单：化学老师上课时嘲讽物理了！
（没人知道化学是只涉及了物理中电磁学和热力学的一小部分的一个物理的分支学科吗？）
==== 颜色深浅问题 ====
我们知道，二氧化氮与四氧化二氮在压强不同的情况下可以相互转化，产生一组热力学的动态平衡。
第487行 ⟶ 第911行：
现在将混合气体放在一密闭注射器中，向里推活塞，请问气体颜色变深还是变浅？
在高中，化学老师一定会告诉你答案：变浅。
事实上真的是这样吗？
我们先来听听老师们的解释：因为将注射器活塞向里推，注射器空腔内体积变小，压强增大，二氧化氮有一部分变成了四氧化二氮，那么二氧化氮的浓度就降低了，颜色自然就变浅了。
再来看看科学的解释：
首先给出结论：化学老师对了，但不完全对。
如果从注射器的底面（带出气孔）的方向去看气体，颜色变浅；如果从注射器的侧面看气体，颜色变深。
来分析一下这是为什么。
首先，化学老师不对的原因是，他们天真的认为浓度和颜色有直接关系。
然而事实并非如此。
首先，搞清楚颜色产生的原因是什么。
颜色是由于特定波长的光被粒子反射回来，而人眼看到了这种光。
所以颜色更深的本质是因为光强度在介质中衰减的程度。
电磁波衰减有这样一个公式<math>A = A_0e^{-\lambda h}</math>其中<math>\lambda</math>是光线途径中在这条上的分子的线密度，<math>h</math>是这些分子的总长度，即物体的厚度。
那么久很好解释了，首先，一味地加压并不能使二氧化氮全部化合成四氧化二氮，而是二者比例趋于稳定，即动态平衡，这时候如果再加压，那么从底部看，二氧化氮的数密度不变，而厚度减小，所以衰减效果变弱，颜色变浅，如果从侧面看，二氧化氮厚度不变，数密度增加，所以光的衰减更明显，颜色变深。
所以说，可据理臆断乎？
== 近代物理学 ==
近代物理学是人们打破常识，将物理学科向更加纵深发展的成果。
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