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第1行:
这是一个菜
== “高考易错题” ==
第8行:
[[文件:Physicsblackboard1.jpg|thumb|例1]]
在一个光滑水平面上有一孔,中间穿过一根轻绳,桌面上的一段连接一个质量为<math>m</math>的球,桌面下的一段连接两个质量为<math>m</math>的球,桌面上绳长初态为<math>l</math>。桌面上的球以切向速度<math>v_0=\sqrt{gl}</math>绕孔做圆周运动。现在释放绳,问桌面上绳最短为多长?
我们设桌面上的绳缩短量为<math>x</math>,则我们需要算出<math>x_\rm{max}</math>的值。
如果这题被老师一时兴起出到高考试卷上,那么解题过程应该是这样的:
由能量守恒:<math>\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 - 2mgx</math> ①
由牛顿第二定律:<math>\frac{mv_1^2}{l - x} = 2mg</math> ②
然而这样做是不对的。这里默认了<math>x_\rm{max}</math>时沿绳方向的加速度只有向心加速度。事实上,此时沿绳不止有向心加速度,桌面下方的<math>2m</math>会再次上升,原因在最后会解释。
那我们怎样解决这个问题呢?我们可以使用角动量。
由<math>\vec{F} = m \vec{a}</math>:
<math>\vec{r} \times \vec{F} \cdot \Delta t = \vec{r} \times m \vec{a} \cdot \Delta t</math>
<math>\vec{M} \cdot \Delta t = \vec{r} \times m \Delta \vec{v}</math>
又<math> \Delta (\vec{r} \times m \vec{v})</math>
<math> = \Delta \vec{r} \times m \vec{v} + \vec{r} \times \Delta (m \vec{v})</math>
<math> = \vec{v} \cdot \Delta t \times m \vec{v} + \vec{r} \times m \Delta \vec{v}</math>
<math> = 0 + \vec{r} \times m \Delta \vec{v}</math>
所以<math>\vec{M} \cdot \Delta t = \Delta (\vec{r} \times m \vec{v})</math>
记作<math>\vec{H} = \Delta \vec{L}</math>
其中,<math>\vec{H}</math>是角冲量,<math>\vec{L}</math>是角动量。
在此题中,使用角动量是好的。因为桌面上的小球受到绳的力是有心力,即:若选孔为支点,则运动过程中绳上拉力力臂始终为0,力矩为0,角动量守恒。
由此,得方程:<math>m v_0 l = m v_1 (l-x)</math> ③
联立①③,得<math>x_\rm{max}=\frac{7-\sqrt{17}}{8}</math><math>l</math>
由这个结果不难发现,<math>x_\rm{max}</math>时,向心加速度为<math>\frac{-13+5\sqrt{17}}{2}g >2g</math>,说明我们之前的想法是正确的。
这个问题就轻松而愉快地解决了!
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