高观点下的高中物理：修订间差异

对于长为<math>a</math>，宽为<math>b</math>的杆，设其质量均匀，面密度为<math>\sigma</math>。

利用垂直轴定理——

对于<math>x</math>轴，我们有：

<math>I_x = \int_{0}^{b} \frac{1}{12}dm\cdot a^2 = \int_{0}^{b} \frac{1}{12}\sigma a\cdot a^2dx</math>

选取一小段质元，则<math>dm = \sigma\cdot a dx</math>

所以<math>I_x = \frac{1}{12}\sigma a^3b = \frac{1}{12}ma^2</math>

对于<math>y</math>轴，我们有：

<math>I_y = \int_{0}^{a} \frac{1}{12}dm\cdot b^2 = \int_{0}^{a} \frac{1}{12}\sigma a\cdot b^2dy</math>

选取一小段质元，则<math>dm = \sigma\cdot b dy</math>

所以<math>I_y = \frac{1}{12}\sigma ab^3 = \frac{1}{12}mb^2</math>

所以<math>I_z = I_x + I_y = \frac{1}{12}m\left(a^2+b^2\right)</math>

或者使用平行轴定理直接积分：

所以<math>I_z = \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \left(\frac{1}{12}a^2 + x^2\right)dm = \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \left(\frac{1}{12}a^2 + x^2\right)a\sigma\cdot dx = \frac{1}{12}m\left(a^2 + b^2\right)</math>